Question

如圖，ABD為豎直平面內(nèi)的光滑絕緣軌道，其中AB段是水平的，BD段為半徑R=0.2m的半圓，兩段軌道相切于B點，整個軌道處在豎直向下的勻強(qiáng)電場中，場強(qiáng)大小E=5.0×10³ V/m．一不帶電的絕緣小球甲，以速度v₀沿水平軌道向右運動，與靜止在B點帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞．已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m=1.0×10^-2kg，乙所帶電荷量q=2.0×10^-5C，g取10m/s²．（水平軌道足夠長，甲、乙兩球可視為質(zhì)點，整個運動過程無電荷轉(zhuǎn)移） 
（1）甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過軌道的最高點D，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離；
（2）在滿足（1）的條件下．求的甲的速度v₀；
（3）若甲仍以速度v₀向右運動，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍．

Answer 1

（1）在乙恰能通過軌道的最高點的情況下，設(shè)乙到達(dá)最高點的速度為v_D，乙離開D點到達(dá)水平軌道的時間為t，乙的落點到B點的距離為x，
則由向心力公式得   m

v 2D

R

=mg+qE      ①
豎直方向勻加速運動   2R=

1

2

（

mg+qE

m

） t²    ②
水平方向勻速運動     x=v_Dt          ③
聯(lián)立①②③得：x=0.4m      ④
（2）設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為v_甲、v_乙，
根據(jù)動量守恒有：
  mv₀=mv_甲+mv_乙 ⑤
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有：
 

1

2

m

v

20

=

1

2

m

v

2甲

+

1

2

m

v

2乙

          ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：v_甲=0，v_乙=v₀          ⑦
由動能定理得：-mg?2R-qE?2R=

1

2

mv_D²-

1

2

mv_乙²     ⑧
聯(lián)立①⑦⑧得：v₀=v_乙=

5(mg+qE)R m

=2

5

m/s       ⑨
（3）設(shè)甲的質(zhì)量為M，碰撞后甲、乙的速度分別為v_M、v_m，
根據(jù)動量守恒有：
Mv₀=Mv_M+mv_m⑩
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

1

2

M

v

20

=

1

2

M

v

2M

+

1

2

m

v

2m

有以上兩式可得：v_m=

2Mv0

M+m

由于M?m，可得：v_D≤v_m＜2v_D
設(shè)乙球過D點的速度為v_D^′，
由動能定理得  -mg?2R-qE?2R=

1

2

m

v

′2D

-

1

2

m

v

2m

聯(lián)立以上兩個方程可得：2m/s≤v_D^′＜8m/s
設(shè)乙在水平軌道上的落點到B點的距離為x'，
則有：x'=v_D^′t
所以可以解得：0.4m≤x'＜1.6m
答：（1）乙在軌道上的首次落點到B點的距離是0.4m；
（2）甲的速度是2

5

m/s；
（3）乙在軌道上的首次落點到B點的距離范圍是0.4m≤x'＜1.6m．