Question

如圖所示，在固定的粗糙斜面上依次放有兩塊質(zhì)量相等m₁=m₂=10kg的平板A、B，長(zhǎng)度均為 L=1.6m，斜面傾角很小為θ（sinθ=0.1，cosθ≈1），一個(gè)質(zhì)量為m₃=20kg 的小滑塊C以v₀=5m/s的初速度滑上平板A的上表面．A與斜面之間的動(dòng)摩擦因素為μ₁=0.2，B與斜面之間的動(dòng)摩擦因素μ₂=0.1，滑塊C與平板A、B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)相同，設(shè)為μ₃．設(shè)最大靜摩擦力與相對(duì)應(yīng)的滑動(dòng)摩擦力大小相等，g=10m/s．
（1）若小滑塊C滑上平板A時(shí)，平板均不動(dòng)，而滑上平板B時(shí)，平板B開(kāi)始滑動(dòng)，求μ₃應(yīng)滿(mǎn)足的條件；
（2）若μ₃=0.4，求滑塊C從開(kāi)始滑上平板A到最終相對(duì)斜面靜止時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和平板B沿斜面上滑的最大距離．

Answer 1

分析：（1）對(duì)長(zhǎng)木板A和B分別受力分析，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件列方程．聯(lián)立方程組求解即可；
（2）小滑塊C滑上A時(shí)，做勻減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律求加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求末速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間；小滑塊沖上B后，繼續(xù)減速，B加速，先根據(jù)牛頓第二定律求解加速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間和速度；BC一起減速前進(jìn)過(guò)程，根據(jù)牛頓第二定律求加速度后，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式繼續(xù)求解，得到運(yùn)動(dòng)時(shí)間和位移大��；到達(dá)最高點(diǎn)后，受力分析，得出BC保持靜止，最后得到總時(shí)間和平板B沿斜面上滑的最大距離．

解答：解：（1）要使小滑塊滑上平板A時(shí)，平板不動(dòng)，則：
μ₃m₃gcosθ≤μ₁（m₁+m₃）gcosθ+μ₂m₂gcosθ+（m₁+m₂）gsinθ
要使小滑塊滑上平板B時(shí)，平板B開(kāi)始滑動(dòng)，則：
μ₃m₃gcosθ≥μ₂（m₂+m₃）gcosθ+m₂gsinθ
解得：0.2≤μ≤0.45
即μ₃應(yīng)滿(mǎn)足的條件為0.2≤μ≤0.45．
（2）設(shè)C在A上滑動(dòng)時(shí)，C的加速度為a_c，經(jīng)t₁時(shí)間滑出A時(shí)的速度為v₁，則
m₃gsinθ+μ₃m₃gcosθ=m₃a_c
解得
a_c=5m/s²
根據(jù)速度位移公式，有
v₀²-v₁²=2a_cL
解得
v₁=3m/s
根據(jù)速度時(shí)間公式，有
v₀-v₁=a_ct₁
解得
t1=

2

5

s
C滑到B上以后，B開(kāi)始滑動(dòng)，加速度為a_B，假設(shè)經(jīng)t₂時(shí)間后B、C達(dá)到共同速度v₂時(shí)C還沒(méi)有從B上滑出
對(duì)B：μ₃m₃gcosθ-μ₂（m₂+m₃）cosθ-m₂gsinθ=m₂a_B
解得
a_B=4m/s²
根據(jù)速度位移公式，有
v₂=a_Bt₂
對(duì)C：v₂=v₁-a_ct₂
解得：v2=

4

3

m/s
t2=

1

3

s
C相對(duì)于B滑動(dòng)的距離△x=

v1+v2

2

t2-

v2

2

t2
△x=0.5m＜L假設(shè)成立
之后C和B一起沿斜面減速，加速度為a，經(jīng)t₃速度變?yōu)榱?BR>對(duì)BC整體：（m₁+m₃）gsinθ+μ₂（m₁+m₃）gcosθ=（m₁+m₃）a
解得
a=2m/s²
根據(jù)速度位移公式，有
t3=

v2

a

故t3=

2

3

s
由于（m₁+m₃）gsinθ=μ₂（m₁+m₃）gcosθ，故BC最終靜止在斜面上；
故C從開(kāi)始滑上平板A最終相對(duì)斜面靜止時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間：t=t₁+t₂+t₃t=1.4s，平板B沿斜面上滑的最大距離：xB=

v2

2

(t2+t3)x_B=0.67m．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵要結(jié)合牛頓第二定律分析計(jì)算清楚小滑塊C和長(zhǎng)木板AB的運(yùn)動(dòng)情況，然后結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式確定運(yùn)動(dòng)的位移和時(shí)間．