Question

14．在地球表面，用彈簧測力計測得質(zhì)量為m₀的物體的重力為P，已知地球的半徑為R，萬有引力常量為G，地球的同步通信衛(wèi)星的軌道離地面的高度為h，則（　　）

• A． 第一宇宙速度為v=$\sqrt{\frac{PR}{{m}_{0}}}$
• B． 地球的質(zhì)量為$\frac{PR}{G{m}_{0}}$
• C． 地球的近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的向心加速度大小等于$\frac{P}{{m}_{0}}$
• D． 地球的自轉(zhuǎn)周期等于$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{{m}_{0}（R+h）}{P}}$

Answer 1

分析 由P=m₀g可得到地球表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力提供向心力，即可求解近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，即為第一宇宙速度．根據(jù)地球表面重力等于萬有引力，可求得地球的質(zhì)量．由a=$\frac{{v}^{2}}{R}$求近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的向心加速度．根據(jù)同步地球衛(wèi)星做勻速圓周運動時，由萬有引力提供向心力列式，求其周期，即得到地球自轉(zhuǎn)的周期．

解答 解：AB、第一宇宙速度即為近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的線速度，由萬有引力提供向心力，得
  G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，得 v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$ ①
由P=m₀g得，地球表面的重力加速度 g=$\frac{P}{{m}_{0}}$ ②
在地球的表面，由重力等于萬有引力得：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=m′g ③
聯(lián)立解得：地球的質(zhì)量為 M=$\frac{P{R}^{2}}{G{m}_{0}}$ ④
將④代入①得：v=$\sqrt{\frac{PR}{{m}_{0}}}$．故A正確，B錯誤．
C、地球的近地衛(wèi)星環(huán)繞地球運動的向心加速度大小為 a=$\frac{{v}^{2}}{R}$=$\frac{P}{{m}_{0}}$ ⑤．故C正確．
D、對于地球同步衛(wèi)星，由萬有引力提供向心力，得
  G$\frac{Mm′}{（R+h）^{2}}$=m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）⑥
⑥與④聯(lián)立解得 T=$\frac{2π（R+h）}{R}$$\sqrt{\frac{{m}_{0}（R+h）}{P}}$ ⑦
故地球自轉(zhuǎn)的周期也為 T=$\frac{2π（R+h）}{R}$$\sqrt{\frac{{m}_{0}（R+h）}{P}}$ 故D錯誤．
故選：AC

點評 本題是萬有引力提供向心力公式的直接應(yīng)用，注意軌道半徑與地球半徑的不同，學(xué)生容易將高度當(dāng)作軌道半徑來計算．