Question

9．如圖所示，細繩一端系著質量M=0.6kg的物體，另一端通過光滑小孔吊著質量m=0.3kg的物體，M的中點與小孔的距離r=0.2m，已知M和水平面的最大靜摩擦力為2N，現(xiàn)使此平面繞中心軸線勻速轉動，并使m處于靜止狀態(tài)，試求角速度ω的范圍．

Answer 1

分析 當此平面繞中心軸線以角速度ω轉動時，若M恰好要向里滑動時，ω取得最小值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．若M恰好要向外滑動時，ω取得最大值，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，由最大靜摩擦力和繩子拉力的合力提供M所需要的向心力．根據牛頓第二定律分別求出ω的最小值和最大值，即可得到ω的取值范圍．

解答 解：設此平面角速度ω的最小值為ω₁，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向外，則由牛頓第二定律得
   T-f_max=M${ω}_{1}^{2}r$，
又T=mg
聯(lián)立得 mg-f_max=M${ω}_{1}^{2}r$，
將m=0.3kg，f_max=2N，M=0.6kg，r=0.2m代入解得ω₁=$\frac{\sqrt{3}}{0.6}$rad/s
設此平面角速度ω的最大值為ω₂，此時M所受的靜摩擦力達到最大，方向沿半徑向里，則由牛頓第二定律得
  T+f_max=M${ω}_{2}^{2}L$，
又T=mg
代入解得ω₂=$\frac{\sqrt{15}}{0.6}$rad/s
故為使m處于靜止狀態(tài)，角速度ω的范圍為：$\frac{\sqrt{3}}{0.6}rad/s≤ω≤\frac{\sqrt{15}}{0.6}rad/s$．
答：為使m處于靜止狀態(tài)，角速度ω的范圍為：$\frac{\sqrt{3}}{0.6}rad/s≤ω≤\frac{\sqrt{15}}{0.6}rad/s$

點評 本題是圓周運動中臨界問題，抓住當M恰好相對此平面滑動時靜摩擦力達到最大，由牛頓第二定律求解角速度的取值范圍．