Question

9．有兩顆行星A和B（A和B之間的相互作用不計(jì)），它們各有一顆靠近其表面的衛(wèi)星．若這兩顆衛(wèi)星的周期相等，由此可知（　　）

• A． 兩顆衛(wèi)星的線速度相等
• B． 行星A、B的質(zhì)量一定相等
• C． 行星A、B的密度一定相等
• D． 行星A、B表面重力加速度之比等于它們的半徑之比

Answer 1

分析 根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，得到兩個(gè)衛(wèi)星的線速度和行星質(zhì)量的表達(dá)式，再分析衛(wèi)星線速度和行星質(zhì)量的大小．得出密度的表達(dá)式，判斷密度是否相等．
由萬(wàn)有引力等于重力得出行星表面的重力加速度，從而得出重力加速度之比．

解答 解：A、由v=$\frac{2πR}{T}$，T相同，但兩顆行星的半徑不一定相等，衛(wèi)星的軌道半徑R不一定相同，則線速度不一定相等．故A錯(cuò)誤．
B、對(duì)于任一衛(wèi)星和行星系統(tǒng)，由萬(wàn)有引力提供向心力，得：
G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
則得行星的質(zhì)量為：
M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$
因?yàn)樾行堑陌霃讲灰欢ㄏ嗟龋瑒t行星的質(zhì)量不一定相等．故B錯(cuò)誤．
C、行星的密度：ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$=$\frac{3π}{G{T}^{2}}$，T相同，則行星的密度相同，故C正確．
D、行星A和B表面的重力加速度：g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R，兩個(gè)衛(wèi)星的周期相等，但行星的半徑不一定相等，則行星表面的重力加速不一定相等，故D錯(cuò)誤．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力這兩個(gè)基本思路，并能靈活選擇向心力公式的形式進(jìn)行求解．