Question

3．感應(yīng)加速器可以簡(jiǎn)化為以下模型：在圓形區(qū)域內(nèi)存在一方向豎直向下，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B隨時(shí)間均勻變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．在磁感應(yīng)強(qiáng)度變化過(guò)程中，將產(chǎn)生渦旋電場(chǎng)E_渦，渦旋電場(chǎng)電場(chǎng)線(xiàn)是在水平面內(nèi)一系列沿逆時(shí)針?lè)较虻耐�心圓，同一條電場(chǎng)線(xiàn)上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，渦旋電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)差的關(guān)系與勻強(qiáng)電場(chǎng)相同．在此區(qū)域內(nèi)，沿水平面固定一半徑為r的圓環(huán)形光滑細(xì)玻璃管，環(huán)心0在區(qū)域中心．一質(zhì)量為m、帶電量為q小球位于玻璃管內(nèi)部．設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時(shí)間變化規(guī)律為B=kt，t=0時(shí)刻小球由靜止開(kāi)始加速．求：
（1）小球沿玻璃管加速運(yùn)動(dòng)第一次到開(kāi)始位置時(shí)速度v₁的大小
（2）設(shè)小球沿管壁運(yùn)動(dòng)第一周所用時(shí)間為t₁，第二周所用時(shí)間為t₂，t₁：t₂為多大；
（3）小球加速轉(zhuǎn)動(dòng)第N圈過(guò)程中該加速裝置的平均功率P_平．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感生電動(dòng)勢(shì)的大小，由動(dòng)能定理求速度v₁的大�。�
（2）由于渦旋電場(chǎng)強(qiáng)度大小不發(fā)生變化，小球沿管方向的運(yùn)動(dòng)是加速度大小不變的加速運(yùn)動(dòng)，可以根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)的速度公式求時(shí)間之比．
（3）第N圈過(guò)程中該加速裝置的平均功率 P_平=$\frac{qE}{{t}_{N}}$，由動(dòng)量定理可得  E_渦qt_N=mv_N-mv_N-1；再結(jié)合渦旋電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)電勢(shì)差的關(guān)系 E=kπr²=E_渦•2πr，即可求解．

解答 解（1）感生電動(dòng)勢(shì)大小 E=$\frac{△B}{△t}$S=kπr²
 電場(chǎng)力做功與動(dòng)能變化的關(guān)系表示為 W=qE=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 v₁=$\sqrt{\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$
（2）小球沿管運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，帶點(diǎn)小球運(yùn)動(dòng)每一圈過(guò)程中電場(chǎng)力做功相同，則有 2qE=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
由于渦旋電場(chǎng)強(qiáng)度大小不發(fā)生變化，故小球沿管方向的運(yùn)動(dòng)是加速度大小不變的加速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)勻變速運(yùn)動(dòng)規(guī)律則有
  t₁=$\frac{{v}_{1}}{a}$
  t₂=$\frac{{v}_{2}-{v}_{1}}{a}$
得 t₁：t₂=1：（$\sqrt{2}$-1）
（3）第N圈過(guò)程中該加速裝置的平均功率 P_平=$\frac{qE}{{t}_{N}}$
根據(jù)動(dòng)量定理可得
  E_渦qt_N=mv_N-mv_N-1；
渦旋電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)與電勢(shì)差的關(guān)系 E=kπr²=E_渦•2πr
而 v_N=$\sqrt{N\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$，v_N-1=$\sqrt{（N-1）\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$
聯(lián)立解得：P_平=$\sqrt{\frac{{k}^{2}π{r}^{4}{q}^{2}}{8m}}$（$\sqrt{N}$-$\sqrt{N-1}$）
答：
（1）小球沿玻璃管加速運(yùn)動(dòng)第一次到開(kāi)始位置時(shí)速度v₁的大小是$\sqrt{\frac{2kπq{r}^{2}}{m}}$．
（2）設(shè)小球沿管壁運(yùn)動(dòng)第一周所用時(shí)間為t₁，第二周所用時(shí)間為t₂，t₁：t₂為1：（$\sqrt{2}$-1）．
（3）小球加速轉(zhuǎn)動(dòng)第N圈過(guò)程中該加速裝置的平均功率P_平是$\sqrt{\frac{{k}^{2}π{r}^{4}{q}^{2}}{8m}}$（$\sqrt{N}$-$\sqrt{N-1}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查電磁感應(yīng)、動(dòng)能定理、功能關(guān)系以及動(dòng)量定理，本題關(guān)鍵要抓住小球的運(yùn)動(dòng)與勻變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)相似性，明確感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和渦旋場(chǎng)強(qiáng)的關(guān)系．