Question

（2011?四川）如圖所示：正方形絕緣光滑水平臺(tái)面WXYZ邊長(zhǎng)l=1.8m，距地面h=0.8m．平行板電容器的極板CD間距d=0.1m且垂直放置于臺(tái)面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔．電容器外的臺(tái)面區(qū)域內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度B=1T、方向豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．電荷量q=5×10^-13C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U=2.5V，板間微粒經(jīng)電場(chǎng)加速后由D板所開小孔進(jìn)入磁場(chǎng)（微粒始終不與極板接觸），然后由XY邊界離開臺(tái)面．在微粒離開臺(tái)面瞬時(shí)，靜止于X正下方水平地面上A點(diǎn)的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時(shí)恰好與之相遇．假定微粒在真空中運(yùn)動(dòng)、極板間電場(chǎng)視為勻強(qiáng)電場(chǎng)，滑塊視為質(zhì)點(diǎn)，滑塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，取g=10m/s²
（1）求微粒在極板間所受電場(chǎng)力的大小并說明兩板地極性；
（2）求由XY邊界離開臺(tái)面的微粒的質(zhì)量范圍；
（3）若微粒質(zhì)量m_o=1×10^-13kg，求滑塊開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所獲得的速度．

Answer 1

分析：（1）微粒在平臺(tái)上按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)，由左手定則可判斷微粒的電性；在平行板電容器間加速，從而可判斷兩板的極性．
（2）微粒要由XY邊界離開臺(tái)面，由兩個(gè)邊界條件：一個(gè)是從XY的左端離開，再者是軌跡與YZ相切到達(dá)XY邊離開臺(tái)面，做出兩種情況下的軌跡圖，從而可知軌跡半徑的范圍，再由微粒在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑公式，可求出微粒的質(zhì)量范圍．
（3）先由半徑公式結(jié)合微粒的質(zhì)量求出微粒的運(yùn)動(dòng)半徑，求出從XY邊緣離開平臺(tái)時(shí)的位置及與XY邊的夾角，此后微粒做平拋運(yùn)動(dòng)，直到與滑塊相遇；滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合幾何關(guān)系，便可求出滑塊的初始速度．

解答：解：
（1）由左手定則及微粒的偏轉(zhuǎn)方向可知，該微粒帶正電，即C板為正，D板為負(fù)；電場(chǎng)力的大小為：
F=qE=q

U

d

=1.25×10-11N…①
（2）由題意知兩個(gè)軌跡邊界如圖所示，由此邊界結(jié)合勾股定理得：

l

2

＜R≤l-d…②
再由向心力公式qvB=m

v2

R

得R=

mv

qB

…③
且qU=

1

2

mv2…④
聯(lián)立②③④式，得該微粒的質(zhì)量范圍：
8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg
（3）將質(zhì)量m_o=1×10^-13kg代入③④可得：
v=5m/s以及R=1m，其軌跡如圖所示．
由圖可知cosθ=

l-R

R

=0.8，也即是θ=37°…⑤
設(shè)微粒在空中的飛行時(shí)間為t，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：
h=

1

2

gt2…⑥
則滑塊滑至與微粒相碰過程中微粒的水平位移為：
s=vt…⑦
微�；�出點(diǎn)距左邊距離：
x=d+Rsinθ…⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：
s=2m   x=0.7m．
由余弦定理，知滑塊的位移 S0=

S2+π2-2Sxcosθ

=1.5m．
由位移公式S0=v0t-

1

2

μgt2
解得：v₀=4.15m/s．
由正弦定理有：

S

sinα

=

S0

sinθ

S

sinφ

=

S0

sinθ

φ
得：sinφ=0.8
φ=arcsin0.8（或φ=53°）
答：（1）微粒在極板間所受電場(chǎng)力的大小1.25×10^-11N，C板為正，D板為負(fù)．
    （2）由XY邊界離開臺(tái)面的微粒的質(zhì)量范圍為8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg．
    （3）若微粒質(zhì)量m_o=1×10^-13kg，滑塊開始運(yùn)動(dòng)時(shí)所獲得的速度為4.15m/s．

點(diǎn)評(píng)：該題考察的數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用，尤其是三角函數(shù)的應(yīng)用．三角函數(shù)的應(yīng)用在近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)，盡管它只是起到運(yùn)算作用，但是如果忘記了三角函數(shù)公式是無法進(jìn)行下去的，自然得不到正確的結(jié)果．由于是物理試題，三角函數(shù)過程在解答過程可以不體現(xiàn)、只在草稿紙上畫．
此方面的問題具體要做到以下兩點(diǎn)：
（1）能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進(jìn)行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論．
（2）必要時(shí)能運(yùn)用幾何圖形、函數(shù)圖象進(jìn)行表達(dá)、分析．