Question

4．已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g，一天時間記為T，衛(wèi)星質(zhì)量為m．已知萬有引力勢能公式，其中M為地球質(zhì)量，r為衛(wèi)星到地心距離．求：
（1）同步軌道衛(wèi)星環(huán)繞地球的飛行速度；
（2）從地球表面發(fā)射同步軌道衛(wèi)星時的最小初速度（考慮地球自轉(zhuǎn)的影響）．

Answer 1

分析 衛(wèi)星在離地高度為H處環(huán)繞地球做勻速圓周運動，據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式，根據(jù)根據(jù)在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式，兩等式結(jié)合求解．
從地球表面發(fā)射同步軌道由能量守恒列出等式求解．

解答 解：（1）衛(wèi)星在離地高度為H處環(huán)繞地球做勻速圓周運動，據(jù)萬有引力提供向心力，列出等式：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r
根據(jù)根據(jù)在地面附近物體受到地球的萬有引力近似等于物體在地面上的重力，列出等式：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
ω=$\frac{2π}{T}$，
解得：r=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$，
v=ωr=$\root{3}{\frac{2π{gR}^{2}}{T}}$，
（2）從地球表面發(fā)射同步軌道由能量守恒列出等式：
$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}$mv²=$\frac{GMm}{R}$-$\frac{GMm}{r}$
v₀=$\sqrt{-g{R（\frac{{4π}^{2}R}{{gT}^{2}}）}^{\frac{1}{3}}+2gR}$
考慮到地球的自轉(zhuǎn)，最小發(fā)射速度u=v₀-v_自=$\sqrt{-g{R（\frac{{4π}^{2}R}{{gT}^{2}}）}^{\frac{1}{3}}+2gR}$-$\frac{2πR}{T}$
答：（1）同步軌道衛(wèi)星環(huán)繞地球的飛行速度是$\root{3}{\frac{2π{gR}^{2}}{T}}$；
（2）從地球表面發(fā)射同步軌道衛(wèi)星時的最小初速度是$\sqrt{-g{R（\frac{{4π}^{2}R}{{gT}^{2}}）}^{\frac{1}{3}}+2gR}$-$\frac{2πR}{T}$．

點評 向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．
運用黃金代換式GM=gR²求出問題是考試中常見的方法．
本題考查了多個知識點的應(yīng)用，要能根據(jù)求解的問題選擇恰當(dāng)?shù)奈锢硪?guī)律求解．