Question

（2012?海淀區(qū)模擬）北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是我國(guó)正在自主研發(fā)的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，該系統(tǒng)由空間端（衛(wèi)星）、地面端（中心控制系統(tǒng)）和用戶端（導(dǎo)航定位儀）三部分組成，預(yù)計(jì)2020年形成全球覆蓋能力．目前正在試用的“北斗一號(hào)”衛(wèi)星導(dǎo)航試驗(yàn)系統(tǒng)也稱“雙星定位導(dǎo)航系統(tǒng)”，利用兩顆地球同步靜止軌道衛(wèi)星為用戶提供快速定位導(dǎo)航服務(wù)．
（1）已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，求“北斗一號(hào)”同步靜止軌道衛(wèi)星距地面的高度．
（2）雙星定位導(dǎo)航系統(tǒng)的工作原理可簡(jiǎn)化為如下過程（其示意圖如圖甲所示）：中心控制系統(tǒng)首先向衛(wèi)星發(fā)出詢問信號(hào)，經(jīng)衛(wèi)星I轉(zhuǎn)發(fā)到達(dá)用戶端S，用戶接收到該信號(hào)并同時(shí)向兩顆衛(wèi)星發(fā)出定位響應(yīng)信號(hào)，分別經(jīng)衛(wèi)星I、衛(wèi)星II傳送回中心控制系統(tǒng)，中心控制系統(tǒng)分別記錄下從發(fā)出詢問信號(hào)到接收到經(jīng)衛(wèi)星I、衛(wèi)星II傳回的兩個(gè)響應(yīng)信號(hào)的時(shí)間．因?yàn)榭刂浦行牡絻深w衛(wèi)星的距離一定，所以可以利用信號(hào)從用戶分別傳送到衛(wèi)星I和衛(wèi)星II的時(shí)間，計(jì)算出用戶所在的位置．
在衛(wèi)星I、衛(wèi)星II和用戶S所在的平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系如圖乙所示，衛(wèi)星I、衛(wèi)星II的坐標(biāo)分別為（-L，0）和（L，0），已知電磁波的傳播速率為c，不計(jì)大氣層對(duì)信號(hào)傳播的影響．
①若地面控制中心測(cè)出電磁信號(hào)從用戶S傳送到衛(wèi)星I所用的時(shí)間為t₁，從用戶S傳送到衛(wèi)星II所用的時(shí)間為t₂，求用戶S在此平面內(nèi)的位置；
②實(shí)際導(dǎo)航定位過程中，為了確定用戶在空間中的位置，你認(rèn)為中心控制系統(tǒng)還需要測(cè)出并提供用戶所在位置的哪些信息？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)萬有引力提供向心力，由萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律列出等式求解．
（2）根據(jù)題意及幾何關(guān)系求出用戶S的坐標(biāo)關(guān)系．

解答：解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，“北斗一號(hào)”衛(wèi)星的質(zhì)量為m，其軌道高度為h，
根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律G

Mm

(R+h)2

=m

4π2

T2

(R+h)
對(duì)地面上質(zhì)量為m₀的物體   G

Mm0

R2

=m0g
聯(lián)立上述二式，可解得：h=

3	gR2T2 4π2

-R
（2）①設(shè)用戶S的坐標(biāo)為（x，y），
根據(jù)題意及幾何關(guān)系，有(x+L)2+(y-0)2=(ct1)2
(x-L)2+(y-0)2=(ct2)2
解得S的位置坐標(biāo)為（

c2(t12-t22)

4L

，

c2 t 2 1 -[ c2(t12-t22) 4L +L]2

）
或（

c2(t12-t22)

4L

，

c2 t 2 2 -[ c2(t12-t22) 4L -L]2

）
②還需要測(cè)出并提供用戶所在位置的高度
答：（1）“北斗一號(hào)”同步靜止軌道衛(wèi)星距地面的高度是

3	gR2T2 4π2

-R．
（2）S的位置坐標(biāo)為（

c2(t12-t22)

4L

，

c2 t 2 1 -[ c2(t12-t22) 4L +L]2

），還需要測(cè)出并提供用戶所在位置的高度．

點(diǎn)評(píng)：地球質(zhì)量一定、自轉(zhuǎn)速度一定，同步衛(wèi)星要與地球的自轉(zhuǎn)實(shí)現(xiàn)同步，就必須要角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相等，這就決定了它的軌道高度和線速度大�。�