Question

6．如圖（a）所示，平行金屬板A和B間的距離為d，現(xiàn)在A、B板上加上如圖（b）所示的方波形電壓，t=0時(shí)A板比B板的電勢(shì)高，電壓的正向值為U₀，反向值也為U₀，現(xiàn)有由質(zhì)量為m的帶正電且電荷量為q的粒子組成的粒子束，從AB的中點(diǎn)O以平行于金屬板方向OO′的速度v₀=$\frac{q{U}_{0}T}{3dm}$不斷射入，所有粒子不會(huì)撞到金屬板且在AB間的飛行時(shí)間均為T，不計(jì)重力影響．試求：
（1）粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小及方向；
（2）粒子打出電場(chǎng)時(shí)位置離O′點(diǎn)的距離范圍．

Answer 1

分析 （1）將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著平行于初速度方向和垂直于初速度的方向正交分解，在平行于初速度方向，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在垂直于初速度方向，粒子在電場(chǎng)力的作用下做變速直線運(yùn)動(dòng)，求出兩個(gè)方向上的分速度，最后得到合速度即可；
（2）粒子在t=0、T、2T…時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最下端；粒子在t=nT+$\frac{1}{3}$T時(shí)時(shí)刻進(jìn)入時(shí)，O′位置偏向最上端，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解即可．

解答 解：（1）由牛頓第二定律有：a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$
因飛行時(shí)間均為T，則可知，粒子在豎直方向一定經(jīng)向下的$\frac{T}{3}$的加速和向上的$\frac{T}{3}$T的減速，最后$\frac{T}{3}$做向下的加速運(yùn)動(dòng)；故飛出粒子的速度均相同，在沿電場(chǎng)線方向上速度大小均為：v_y=$\frac{q{U}_{0}}{dm}•\frac{T}{3}$
所以飛出速度為：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{q{U}_{0}T}{3dm}）^{2}+（\frac{q{U}_{0}T}{3dm}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}{U}_{0}T}{3dm}$
設(shè)速度v的方向與v₀的夾角為θ，則有：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=1
所以，方向與水平方向成45°角，大小為：v=$\frac{\sqrt{2}{U}_{0}T}{3dm}$；
（2）當(dāng)粒子t=nT時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向下側(cè)移最大，則：
s₁=$\frac{1}{2}$a（$\frac{T}{3}$）²
由牛頓第二定律有：a=$\frac{q{U}_{0}}{md}$
聯(lián)立解得：s₁=$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{18dm}$
當(dāng)粒子由t=nT+$\frac{1}{3}$T時(shí)刻進(jìn)入電場(chǎng)，向上側(cè)移量最大，有：
s₂=$\frac{1}{2}$a（$\frac{2T}{3}$）2+a（$\frac{2T}{3}$）（$\frac{T}{3}$）-$\frac{1}{2}a$（$\frac{T}{3}$）2
解得：s₂=$\frac{7q{U}_{0}{T}^{2}}{18dm}$；
所以，在距離O'中點(diǎn)上方$\frac{7q{U}_{0}{T}^{2}}{18dm}$到下方$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{18dm}$范圍內(nèi)有粒子打出．
答：（1）粒子射出電場(chǎng)時(shí)的速度大小$\frac{\sqrt{2}{U}_{0}T}{3dm}$，方向?yàn)榕c水平方向成45°角
（2）距離O'中點(diǎn)上方$\frac{7q{U}_{0}{T}^{2}}{18dm}$到下方$\frac{q{U}_{0}{T}^{2}}{18dm}$范圍內(nèi)有粒子打出．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵將粒子的運(yùn)動(dòng)沿著平行于初速度方向和垂直于初速度方向進(jìn)行正交分解，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．解題的關(guān)鍵在于分析豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，必要時(shí)可能通過(guò)作出豎直分運(yùn)動(dòng)的v-t圖象進(jìn)行分析求解．