Question

20．暗物質(zhì)是二十一世紀(jì)物理學(xué)之謎，對該問題的研究可能帶來一場物理學(xué)的革命．為了探測暗物質(zhì)，我國在2015年12月17日成功發(fā)射了一顆被命名為“悟空”的暗物質(zhì)探測衛(wèi)星．已知“悟空”在低于同步衛(wèi)星的軌道上繞地球做勻速圓周運動，經(jīng)過時間t（t小于其運動周期），運動的弧長為s，與地球中心連線掃過的角度為β（弧度），引力常量為G，則下列說法中正確的是（　�。�

• A． “悟空”的線速度大于第一宇宙速度
• B． “悟空”的向心加速度小于地球同步衛(wèi)星的向心加速度
• C． “悟空”的環(huán)繞周期為$\frac{2πt}{β}$
• D． “悟空”的質(zhì)量為$\frac{s^3}{{G{t^2}β}}$

Answer 1

分析 已知該太空電站經(jīng)過時間t（t小于太空電站運行的周期），它運動的弧長為s，它與地球中心連線掃過的角度為β（弧度），根據(jù)線速度和角速度定義可求得太空站的線速度和角速度，然后根據(jù)v=ωr可求得軌道半徑；根據(jù)萬有引力提供向心力求求得地球的質(zhì)量．

解答 解：A、該太空電站經(jīng)過時間t（t小于太空電站運行的周期），它運動的弧長為s，它與地球中心連線掃過的角度為β（弧度），
則太空站運行的線速度為 v=$\frac{s}{t}$
角速度為：ω=$\frac{β}{t}$
根據(jù)v=ωr得軌道半徑為：r=$\frac{v}{ω}$=$\frac{s}{β}$
人類第一臺太空電站在地球的同步軌道上繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，則有：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，得 v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，可知衛(wèi)星的軌道半徑越大，速率越小，第一宇宙速度是近地衛(wèi)星的環(huán)繞速度，故“悟空”在軌道上運行的速度小于地球的第一宇宙速度，故A錯誤；
B、由G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m得：加速度a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，則知“悟空”的向心加速度大于地球同步衛(wèi)星的向心加速度．故B錯誤．
C、“悟空”的環(huán)繞周期為T=$\frac{2π}{\frac{β}{t}}$=$\frac{2πt}{β}$，故C正確；
D、“悟空”繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，即：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mrω²，ω=$\frac{β}{t}$
聯(lián)立解得：地球的質(zhì)量為 M=$\frac{s^3}{{G{t^2}β}}$，不能求出“悟空”的質(zhì)量．故D錯誤；
故選：C

點評 本題考查勻速圓周運動的線速度和角速度的定義，以及其關(guān)系．人類第一臺太空電站在地球的同步軌道上繞地球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，可求得中心天體的質(zhì)量，關(guān)鍵是熟練記憶公式．