Question

（2007?淮安模擬）我國已啟動(dòng)“嫦娥工程”，并于2007年10月24日成功發(fā)射繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥Ⅰ號”．設(shè)該衛(wèi)星可貼近月球表面運(yùn)動(dòng)且軌道是圓形的，已知地球半徑約是月球半徑的4倍，地球質(zhì)量約是月球質(zhì)量的81倍，地球近地衛(wèi)星的周期約為84min，地球表面重力加速度g取10m/s²，求：
（1）繞月表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的“嫦娥Ⅰ號”，其運(yùn)動(dòng)周期約是多大？
（2）設(shè)想宇航員在月球表面上做自由落體實(shí)驗(yàn)，某物體從離月球表面20m處自由下落，約經(jīng)多長時(shí)間落地？

Answer 1

分析：1、地球近地衛(wèi)星受地球的萬有引力提供向心力

GMm

R2

=m(

2π

T0

)2R，探月衛(wèi)星它受月球的萬有引力提供向心力

GM1m1

R12

=m1(

2π

T1

)2R1，兩式相比，可以求出“嫦娥Ⅰ號”的運(yùn)動(dòng)周期T₁．
2、根據(jù)星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，在地球上有mg=G

Mm

R2

，在月球上有m1g1=G

M1m1

R12

，兩式相比，計(jì)算出月球表面重力加速度g₁．再根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律h=

1

2

at12，可計(jì)算出落體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．

解答：解：設(shè)地球質(zhì)量為M，半徑為R，近地衛(wèi)星的質(zhì)量為m，周期為T₀，它受地球的萬有引力提供向心力，則

GMm

R2

=m(

2π

T0

)2R
設(shè)月球質(zhì)量為M₁，半徑為R₁，探月衛(wèi)星的質(zhì)量為m₁，周期為T₁，它受月球的萬有引力提供向心力，則

GM1m1

R12

=m1(

2π

T1

)2R1

T1

T0

=

M  M1 ?( R1 R  )3

=

81 1 × 1 64

=

9

8

T₁=94.5min
（2）設(shè)地球表面重力加速度g，月球表面重力加速度g₁，自由下落高度為h，
根據(jù)星球表面的物體受到的重力等于萬有引力，在地球和月球上都有
mg=G

Mm

R2

m1g1=G

M1m1

R12

下式比上式得：

g1

g

=

M1

M

?(

R

R1

)2=

1

81

×

16

1

所以g1=

160

81

m/s2
根據(jù)自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律
h=

1

2

at12
t1=

2h  g1

=

2×20 160 81

s=4.5s
答：（1）繞月表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的“嫦娥Ⅰ號”，其運(yùn)動(dòng)周期約是94.5min．
（2）設(shè)想宇航員在月球表面上做自由落體實(shí)驗(yàn)，某物體從離月球表面20m處自由下落，約經(jīng)4.5s落地．

點(diǎn)評：本題要求掌握天體運(yùn)動(dòng)中兩個(gè)重要的關(guān)系；①環(huán)繞天體繞中心天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力由萬有引力提供，②星球表面的物體受到的重力等于萬有引力．同時(shí)還要知道自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律．