Question

如圖所示，A、B兩小球用輕桿連接，A球只能沿內(nèi)壁光滑的豎直滑槽運(yùn)動(dòng)，B球處于光滑水平面內(nèi)．開(kāi)始時(shí)桿豎直，A、B兩球靜止．由于微小的擾動(dòng)，B開(kāi)始沿水平面向右運(yùn)動(dòng)．已知A球的質(zhì)量為m_A，B球的質(zhì)量為m_B，桿長(zhǎng)為L(zhǎng)．則：
（1）A球著地時(shí)的速度為多大？
（2）A球機(jī)械能最小時(shí)，水平面對(duì)B球的支持力為多大？
（3）若m_A=m_B，當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值為多大？A球機(jī)械能的最小值為多大？（選水平面為參考平面）

Answer 1

分析：（1）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，系統(tǒng)機(jī)械能守恒，A球著地時(shí)，B球的速度為零，根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律求出A球著地時(shí)的速度大�。�
（2）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，B球的速度最大，此時(shí)B球的加速度為0，則桿對(duì)球的作用力為0．根據(jù)平衡求出水平面對(duì)B球的支持力大�。�
（3）根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒結(jié)合A、B速度的關(guān)系求出B的速度與桿與豎直方向夾角的關(guān)系，結(jié)合數(shù)學(xué)求導(dǎo)的方法求出B的速度最大時(shí)，即A的機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值，以及求出A球機(jī)械能的最小值．

解答：解：（1）A球著地時(shí)，B球的速度為0．
設(shè)此時(shí)A球速度為v，由系統(tǒng)機(jī)械能守恒得   mAgL=

1

2

mAv2
解得   v=

2gL

（2）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，B球的速度最大，此時(shí)B球的加速度為0，則桿對(duì)球的作用力為0．
設(shè)小球受到的支持力為N，對(duì)B球受力分析可得   N=m_Bg
（3）設(shè)桿與豎直方向間夾角為θ，B球的速度為v_B，此時(shí)A球的速度為v_A，則mAgL(1-cosθ)=

1

2

mAvA2+

1

2

mBvB2
且v_A和v_B沿桿方向上分速度大小相等，即  v_Acosθ=v_Bsinθ
聯(lián)立解得   vB=

2gL(1-cosθ)cos2θ

令y=（1-cosθ）cos²θ，當(dāng)y的導(dǎo)數(shù)y?=0時(shí)，A球機(jī)械能最小，v_B達(dá)最大值，即sinθcos²θ-2（1-cosθ）cosθsinθ=0
解得cosθ=

2

3

vA=

30gL

9

則A球機(jī)械能的最小值  EAmin=mAgLcosθ+

1

2

mAvA2=

23mAgL

27

答：（1）A球著地時(shí)的速度為v=

2gL

．
（2）A球機(jī)械能最小時(shí)，水平面對(duì)B球的支持力為 N=m_Bg．
（3）當(dāng)A球機(jī)械能最小時(shí)，桿與豎直方向夾角的余弦值為

2

3

，A球機(jī)械能的最小值為

23mAgL

27

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道A、B組成的系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中機(jī)械能守恒．知道當(dāng)B的速度最大時(shí)，A的機(jī)械能最�。�