Question

20．“嫦娥奔月”的過(guò)程可簡(jiǎn)化為：“嫦娥一號(hào)”升空后，繞地球沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，遠(yuǎn)地點(diǎn)A距地面高度h₁，然后經(jīng)過(guò)變軌被月球捕獲，再經(jīng)過(guò)多次變軌，最終在距離月球表面h₂的軌道上繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（引力常量為G）．
（1）已知地球半徑為R₁，表面的重力加速度為g，求“嫦娥一號(hào)”在遠(yuǎn)地點(diǎn)A處的加速度a；
（2）已知“嫦娥一號(hào)”繞月運(yùn)行的周期T，半徑為R₂，求月球的質(zhì)量．

Answer 1

分析 （1）嫦娥一號(hào)受到合力為地球的萬(wàn)有引力，由牛頓第二定律可以求出A點(diǎn)處的加速度．
（2）月球?qū)︽隙鹨惶?hào)的萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律可以求出月球的質(zhì)量．

解答 解：（1）由牛頓第二定律得：
對(duì)嫦娥一號(hào)衛(wèi)星：ma=G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=G$\frac{Mm}{（{R}_{1}+{h}_{1}）^{2}}$，
在地球表面的物體mg₀=G$\frac{Mm}{{R}_{1}^{2}}$，
解得：a=$\frac{{R}_{1}^{2}{g}_{0}}{（{R}_{1}+{h}_{1}）^{2}}$；
（2）月球的萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G $\frac{Mm}{（{R}_{2}^{\;}+{h}_{2}）^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）²（R₂+h₂），
解得：M=$\frac{4{π}^{3}（{R}_{2}+{h}_{2}）^{3}}{G{T}^{2}}$
答：（1）“嫦娥一號(hào)”在遠(yuǎn)地點(diǎn)A處的加速度a為$\frac{{R}_{1}^{2}{g}_{0}}{{（{R}_{1}+{h}_{1}）}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量為$\frac{4{π}^{3}{（{R}_{2}+{h}_{2}）}^{3}}{G{T}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力等于重力，萬(wàn)有引力提供向心力，由萬(wàn)有引力定律及牛頓第二定律可以正確解題．