Question

10．如圖所示，在豎直平面內(nèi)，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MOP范圍內(nèi)存在豎直向下的勻強電場，電場強度為E，MOQ上方的某個區(qū)域有垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，O點處在磁場的邊界上，現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v（0≤v≤$\frac{E}{B}$）垂直于MO從O點射入磁場，所有粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ向左，不計粒子的重力和粒子間的相互作用力．求：
（1）速度最大的粒子在磁場中的運動時間；
（2）速度最大的粒子打在水平線POQ上的位置離O點的距離；
（3）磁場區(qū)域的最小面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題設(shè)條件畫出粒子運動的軌跡，根據(jù)軌道知，粒子經(jīng)歷三個運動，磁場中的勻速圓周運動、離開磁場后的勻速直線運動和進(jìn)入電場后的類平拋運動，根據(jù)題設(shè)條件分三段分別利用運動規(guī)律求解粒子運動的時間即可；
（2）分三段求PO間的距離，圓周運動部分、勻速運動部分和類平拋運動部分．
（3）根據(jù)題目條件，磁場區(qū)域只需要存在于粒子發(fā)生偏轉(zhuǎn)的過程中，作出不同速度粒子的偏情況，求出滿足條件的磁場區(qū)域即可．

解答 解：（1）因粒子通過直線MO時，速度方向均平行于PQ向左，說明粒子速度方向改變了$\frac{2π}{3}$，由幾何關(guān)系可得粒子的運動軌跡如圖所示．設(shè)粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的半徑為R，周期為T，粒子在勻強磁場中運動時間為t₁
因為$T=\frac{2πm}{Bq}$
所以${t_1}=\frac{1}{3}T=\frac{2πm}{3qB}$
（2）由 $Bqv=\frac{m{v}^{2}}{R}$
得$R=\frac{mv}{qB}=\frac{mE}{{q{B^2}}}$
設(shè)粒子自N點水平飛出磁場，出磁場后應(yīng)做勻速運動至OM，設(shè)勻速運動的距離為s，由幾何關(guān)系知：$s=\frac{R}{tanθ}=\frac{{\sqrt{3}mE}}{{q{B^2}}}$
過MO后粒子在電場中做類平拋運動，設(shè)運動的時間為t₂，
則：$R+Rsin{30°}=\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t_2}^2$，${t_2}=\frac{{\sqrt{3}m}}{qB}$，
由幾何關(guān)系知，速度最大的粒子打在水平線POQ上的位置離O點的距離$L=OP=Rcosθ+s+v{t_2}=\frac{{\sqrt{3}mE}}{{2{B^2}q}}+\frac{{\sqrt{3}mE}}{{{B^2}q}}+\frac{{\sqrt{3}mE}}{{{B^2}q}}=\frac{{5\sqrt{3}mE}}{{2{B^2}q}}$，
（3）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過OM，則其飛出磁場的位置均應(yīng)在ON的連線上，故磁場范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場中的軌跡與ON所圍成的面積，
扇形OO′N的面積$S=\frac{1}{3}π{R}^{2}$ 
△OO′N的面積為：S′=R²cos30°sin30°=$\frac{\sqrt{3}}{4}{R}^{2}$
又△S=S-S'
聯(lián)立得：$△S=（\frac{π}{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}）\frac{{{m^2}{E^2}}}{{{q^2}{B^4}}}$
答：（1）速度最大的粒子在磁場中的運動時間為$\frac{2πm}{3qB}$；
（2）速度最大的粒子打在水平線POQ上的位置離O點的距離為$\frac{5\sqrt{3}mE}{2{B}^{2}q}$；
（3）磁場區(qū)域的最小面積為$（\frac{π}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}）\frac{{m}^{2}{E}^{2}}{{q}^{2}{B}^{4}}$．

點評 本題考查帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動和在電場中做類平拋運動的知識，對學(xué)生幾何能力要求較高．