Question

一宇航員抵達(dá)一半徑為Ｒ的星球表面后，為了測定該星球的質(zhì)量Ｍ，做如下實(shí)驗(yàn)，取一根細(xì)線穿過光滑的細(xì)直管，細(xì)線一端栓一質(zhì)量為m的砝碼，另一端連在一固定的測力計(jì)上，手握細(xì)直管掄動(dòng)砝碼，使它在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。停止掄動(dòng)細(xì)直管，砝碼可繼續(xù)在同一豎直平面做完整的圓周運(yùn)動(dòng)。如圖所示，觀察測力計(jì)得到，當(dāng)砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周的最低點(diǎn)時(shí)，測力計(jì)的讀數(shù)為；當(dāng)砝碼運(yùn)動(dòng)到圓周的最高點(diǎn)時(shí)，測力計(jì)的讀數(shù)為。已知引力常量為Ｇ，試根據(jù)題中提供的條件和測量結(jié)果，求：

（1）該星球表面的重力加速度；
（2）該星球的質(zhì)量Ｍ；
（3）該星球的第一宇宙速度。

Answer 1

解：（1）砝碼在最高點(diǎn)細(xì)線的拉力為F₁,速度為v₁，則
 ①
砝碼在最低點(diǎn)細(xì)線的拉力為F₂,速度為v₂，則
②
由機(jī)械能守恒定律得
③
由①、②、③解得
④
（2）在星球表面，萬有引力近似等于重力
⑤
由④、⑤解得

（3）由，
得
（或由，得

略