Question

（2009?黃岡模擬）如圖為回旋加速器示意圖，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側(cè)D形盒圓心處放有粒子源S，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖所示．質(zhì)子質(zhì)量為m，電荷量為q．設(shè)質(zhì)子從粒子源S進(jìn)入加速電場(chǎng)時(shí)的初速度不計(jì)，加速質(zhì)子時(shí)的電壓恒為U，質(zhì)子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，不考慮磁場(chǎng)的影響．求：
（1）質(zhì)子能達(dá)到的最大速度；
（2）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明當(dāng)R＞＞d時(shí)，質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的總時(shí)間可忽略不計(jì)；
（3）若D形盒內(nèi)存在的磁場(chǎng)磁感應(yīng)強(qiáng)度周期遞增，質(zhì)子便可在電場(chǎng)中加速，而繞行半徑不變．為使質(zhì)子繞行半徑恒為R₀，求：質(zhì)子第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度B_i及質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所用的總時(shí)間t₀（i＞1，不計(jì)質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的時(shí)間）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑的大小，當(dāng)半徑等于D形盒的半徑時(shí)，速度最大．
（2）粒子在電場(chǎng)中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，結(jié)合勻變速直線運(yùn)動(dòng)的平均速度公式求出在電場(chǎng)中加速的時(shí)間，結(jié)合粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)行的周期，求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)行時(shí)間，通過(guò)比值的方法證明當(dāng)R＞＞d時(shí)，質(zhì)子在電場(chǎng)中加速的總時(shí)間相對(duì)于在D形盒中回旋的總時(shí)間可忽略不計(jì)；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，結(jié)合半徑公式求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的通項(xiàng)表達(dá)式，通過(guò)粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出質(zhì)子第i次在磁場(chǎng)中的繞行時(shí)間，從而根據(jù)數(shù)學(xué)方法求出粒子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所用的總時(shí)間．

解答：解：（1）質(zhì)子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)qvB=m

v2

r

得，半徑r=

mv

qB

，①
當(dāng)r=R時(shí)有最大速度vm=

qBR

m

②
（2）設(shè)質(zhì)子在電場(chǎng)中經(jīng)n次加速后，速度達(dá)到v_m，加速的時(shí)間為t₁，從電場(chǎng)對(duì)質(zhì)子速率改變的角度可將質(zhì)子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)等效為勻加速直線運(yùn)動(dòng)，有：
質(zhì)子在電場(chǎng)中的平均速度為

.

v

=

0+vm

2

，③
可得：t1=

2nd

vm

④
設(shè)質(zhì)子在磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₂，有：T=

2πm

qB

⑤
t2=

n

2

T⑥
由②-⑥可得：

t1

t2

=

2d

πR

即當(dāng)R＞＞d時(shí)，t₁＜＜t₂，故在計(jì)算質(zhì)子在D型盒中的總時(shí)間可忽略電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）設(shè)質(zhì)子經(jīng)i次加速后速度為v_i，由動(dòng)能定理得，iqU=

1

2

m

v

2 i

，⑦
質(zhì)子第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，由①、⑦得            Bi=

1

R0

2imU q

質(zhì)子第i次在磁場(chǎng)中的繞行時(shí)間           ti=

πR0

vi

=πR0

m 2iqU

⑧
由⑧式可得質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所用的總時(shí)間：t0=t1+t2+t3+…+ti-1=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)（i＞1）
答：（1）質(zhì)子能達(dá)到的最大速度為vm=

qBR

m

．
（2）證明計(jì)算過(guò)程如上所述．
（3）質(zhì)子第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度Bi=

1

R0

2imU q

，質(zhì)子從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到第i次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)所用的總時(shí)間t0=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵知道粒子在電場(chǎng)中加速，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．對(duì)于第（3）問(wèn)，對(duì)數(shù)學(xué)能力的要求較高，抓住半徑不變，求出磁感應(yīng)強(qiáng)度以及運(yùn)動(dòng)時(shí)間的通項(xiàng)表達(dá)式．