Question

5．在平面直角坐標(biāo)系的第一象限存在有界勻強(qiáng)電場，其左邊界與y軸重合，寬為L，第二象限存在一個半徑為r，方向垂直紙面向里的圓形勻強(qiáng)磁場區(qū)域（圖中未畫出）．一個從A點(diǎn)出發(fā)，以速度v₀（方向與x軸正方向成60°角）做勻速直線運(yùn)動的帶電粒子（質(zhì)量為m，電荷量為q，重力不計）經(jīng)過磁場后垂直進(jìn)入第一象限的勻強(qiáng)電場并從電場的右邊界飛出．粒子經(jīng)過磁場，電場后動能增加了一倍．
（1）求電場強(qiáng)度E的大小；
（2）求r最小時磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和粒子在兩個場中運(yùn)動的總時間t．

Answer 1

分析 （1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分運(yùn)動公式后聯(lián)立求解即可；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡，確定圓心角，根據(jù)牛頓第二定律列式，根據(jù)公式t=$\frac{θ}{2π}T$列式，最后聯(lián)立求解在磁場中的運(yùn)動時間和磁感應(yīng)強(qiáng)度；在電場中做類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分位移公式列式求解時間．

解答 解：（1）粒子在電場中做類似平拋運(yùn)動，根據(jù)分運(yùn)動公式，有：
L=v₀t 
v_x=v₀  v_y=at 
合速度：$v=\sqrt{{v}_{x}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
根據(jù)題意有：$\frac{\frac{1}{2}m{v}^{2}}{\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}}=2$
根據(jù)牛頓第二定律，有：a=$\frac{qE}{m}$
聯(lián)立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，畫出運(yùn)動軌跡，如圖所示：

軌跡對應(yīng)的圓心角為60°，故在磁場中的運(yùn)動時間為：${t}_{1}=\frac{\frac{π}{3}}{2π}T$=$\frac{T}{6}$=$\frac{1}{6}×\frac{2πm}{qB}$=$\frac{πm}{3qB}$
洛侖茲力提供向心力，故：qvB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解答：B=$\frac{m{v}_{0}}{qr}$
聯(lián)立解得：${t}_{1}=\frac{πr}{3{v}_{0}}$
在電場中做類似平拋運(yùn)動，水平分運(yùn)動是勻速直線運(yùn)動，故：t₂=$\frac{L}{{v}_{0}}$
故粒子在兩個場中運(yùn)動的總時間：t=t₁+t₂=$\frac{πr}{3{v}_{0}}+\frac{L}{{v}_{0}}$
答：（1）求電場強(qiáng)度E的大小為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{qL}$；
（2）求r最小時磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\frac{m{v}_{0}}{qr}$，粒子在兩個場中運(yùn)動的總時間t為$\frac{πr}{3{v}_{0}}+\frac{L}{{v}_{0}}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子的運(yùn)動規(guī)律，畫出運(yùn)動軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系、牛頓第二定律、類似平拋運(yùn)動的分運(yùn)動公式列式求解，不難．