Question

【題目】如圖，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g。忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求:

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系。

Answer 1

【答案】（1）

（2）

【解析】試題分析：（1）由法拉第電磁感應(yīng)定律，求出感應(yīng)電動勢；再與相結(jié)合求出電荷量與速度的關(guān)系式．

（2）由左手定則來確定安培力的方向，并求出安培力的大小；借助于、及牛頓第二定律來求出速度與時間的關(guān)系．

解：（1）設(shè)金屬棒下滑的速度大小為v，則感應(yīng)電動勢為E=BLv，

平行板電容器兩極板之間的電勢差為U=E，

設(shè)此時電容器極板上積累的電荷量為Q，

按定義有，

聯(lián)立可得，Q=CBLv．

（2）設(shè)金屬棒的速度大小為v時，經(jīng)歷的時間為t，通過金屬棒的電流為i，

金屬棒受到的磁場力方向沿導(dǎo)軌向上，大小為f1=BLi，

設(shè)在時間間隔（t，t+△t）內(nèi)流經(jīng)金屬棒的電荷量為△Q，

則△Q=CBL△v，

按定義有：，

△Q也是平行板電容器極板在時間間隔（t，t+△t）內(nèi)增加的電荷量，

由上式可得，△v為金屬棒的速度變化量，

金屬棒所受到的摩擦力方向沿導(dǎo)軌斜面向上，

大小為：f2=μN(yùn)，式中，N是金屬棒對于導(dǎo)軌的正壓力的大小，

有N=mgcosθ，

金屬棒在時刻t的加速度方向沿斜面向下，

設(shè)其大小為a，

根據(jù)牛頓第二定律有：mgsinθ﹣f1﹣f2=ma，

即：mgsinθ﹣μmgcosθ=CB2L2a+ma；

聯(lián)立上此式可得：．

由題意可知，金屬棒做初速度為零的勻加速運(yùn)動，t時刻金屬棒的速度大小為．

答：（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系為Q=CBLv；

（2）金屬棒的速度大小隨時間變化的關(guān)系．