Question

20．質量為m的登月器與航天飛機連接在一起，隨航天飛機繞月球做半徑為3R（R為月球半徑）的圓周運動．當它們運行到軌道的A點時，登月器被彈離，航天飛機速度變大，登月器速度變小且仍沿原方向運動，隨后登月器沿橢圓登上月球表面的B點，在月球表面逗留一段時間后，經(jīng)快速起動仍沿原橢圓軌道回到分離點A與航天飛機實現(xiàn)對接．已知月球表面的重力加速度為g_月．科學研究表明，天體在橢圓軌道上運行的周期的平方與軌道半長軸的立方成正比．試求：
（1）登月器與航天飛機一起在圓周軌道上繞月球運行的周期是多少？
（2）若登月器被彈射后，航天飛機的橢圓軌道長軸為8R，則為保證登月器能順利返回A點，登月器可以在月球表面逗留的時間是多少？

Answer 1

分析 （1）登月器和航天飛機在半徑3R的軌道上運行，根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式，在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力列出等式求解
（2）對登月器和航天飛機依據(jù)開普勒第三定律列出等式，為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點與航天飛機實現(xiàn)對接，根據(jù)周期關系列出等式求解

解答 解：（1）設登月器和航天飛機在半徑3R的軌道上運行時的周期為T，因其繞月球作圓周運動，所以應用牛頓第二定律有：
G$\frac{Mm}{9{R}^{2}}$=m（$\frac{2π}{T}$）2•3R…①
在月球表面的物體所受重力近似等于萬有引力，即：
G$\frac{M{m}_{0}}{{R}^{2}}$=m0g月…②
聯(lián)立①②解得：T=6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$…③
（2）設登月器在小橢圓軌道運行的周期是T₁，航天飛機在大橢圓軌道運行的周期是T₂．對登月器和航天飛機依據(jù)開普勒第三定律分別有：
$\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{1}^{2}}{（2R）^{3}}$…④
$\frac{{T}^{2}}{（3R）^{3}}=\frac{{T}_{2}^{2}}{（4R）^{3}}$…⑤
為使登月器仍沿原橢圓軌道回到分離點與航天飛機實現(xiàn)對接，登月器可以在月球表面逗留的時間t應滿足：
t=nT₂-T₁ （其中，n=1、2、3、…）…⑥
聯(lián)立③④⑤⑥得：t=4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）
答：（1）登月器與航天飛機一起在圓周軌道上繞月球運行的周期是6π$\sqrt{\frac{3R}{{g}_{月}}}$
（2）若登月器被彈射后，航天飛機的橢圓軌道半長軸為4R，則為保證登月器能順利返回A點，登月器可以在月球表面逗留的時間是4π（4n-$\sqrt{2}$）$\sqrt{\frac{R}{{g}_{月}}}$（其中，n=1、2、3、…）

點評 該題考查了萬有引力定律及圓周運動相關公式的直接應用，對登月器和航天飛機依據(jù)開普勒第三定律，屬于中檔題