Question

【題目】如圖所示，水平地面和半圓軌道面均光滑，質(zhì)量M＝1kg的小車靜止在地面上，小車上表面與R=0．24m的半圓軌道最低點(diǎn)P的切線相平。現(xiàn)有一質(zhì)量m＝2kg的滑塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）以v0=6m/s的初速度滑上小車左端，二者共速時(shí)的速度為v1=4m/s，此時(shí)小車還未與墻壁碰撞，當(dāng)小車與墻壁碰撞時(shí)即被粘在墻壁上。在半圓軌道的最高點(diǎn)Q有一個(gè)滑塊收集器（圖中未畫出），滑塊滑到此處時(shí)被俘獲固定在軌道的Q點(diǎn)上。已知滑塊與小車表面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0．2，g取10m/s2，求：

（1）小車的最小長度；

（2）小車的長度L在什么范圍，滑塊不脫離軌道？

Answer 1

【答案】（1）3m (2) 3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m

【解析】

（1）滑塊在小車滑行過程，系統(tǒng)所受的合外力為零，動(dòng)量守恒，可求出共同速度．小車的長度與系統(tǒng)產(chǎn)生的內(nèi)能有關(guān)．當(dāng)兩者速度相同滑塊剛好滑到小車的右端時(shí)，小車的長度最短，根據(jù)能量守恒求解最小長度；（2）滑塊不脫離圓軌道可能從Q點(diǎn)離開軌道，也可能滑到T點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理結(jié)合上題的結(jié)果可求出L的范圍．

（1）設(shè)小車的最小長度為L1，由能量守恒定律得：

解得：

（2）若m恰能滑過圓弧的最高點(diǎn)Q，由牛頓第二定律得：

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)Q，在這個(gè)過程對(duì)滑塊由動(dòng)能定理：

聯(lián)立解得：

所以小車長度：

則滑塊要想運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，小車的長度L必須滿足：3m≤L≤4m

若滑塊恰好滑至圓弧到達(dá)T點(diǎn)時(shí)速度為0，則滑塊也能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)而不脫離圓軌道

小車粘在墻壁后，滑塊在車上滑動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到T點(diǎn)，在這個(gè)過程對(duì)滑塊由動(dòng)能定理：

解得：

所以小車長度：，小車的長度L必須滿足：L≥5.8m；

當(dāng)L=7m時(shí)滑塊恰好在P點(diǎn)停止，故L不能大于7m，否則滑塊不能到達(dá)P點(diǎn)，
因此長度的范圍為，5.8m≤L≤7m，

綜上分析可知小車的長度L范圍是：3m≤L≤4m或5.8m≤L≤7m時(shí)滑塊不脫離軌道．