Question

20．一長(zhǎng)為L(zhǎng)的水平傳送帶沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)，其轉(zhuǎn)動(dòng)速度v滿(mǎn)足$\sqrt{\frac{gL}{4}}$≤v≤2$\sqrt{gL}$，傳送帶的最右端與一摩擦可忽略不計(jì)的水平導(dǎo)軌相切，在水平導(dǎo)軌的某位置有一豎直的擋板，如圖所示．現(xiàn)有一可以視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的物塊以水平向右的初速度v₀=$\sqrt{2gL}$從傳送帶的最左端沖上傳送帶，物塊經(jīng)過(guò)一段時(shí)間滑上水平導(dǎo)軌與豎直擋板發(fā)生碰撞，碰后物塊的速度反向、大小變?yōu)榕銮暗?\frac{1}{2}$．已知物塊與傳送帶之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，重力加速度為g．求：
（1）物塊與擋板碰撞時(shí)的速度大�。�
（2）物塊與擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊對(duì)傳送帶的相對(duì)位移△x大�。�

Answer 1

分析 （1）與擋板碰撞時(shí)的速度就是物塊離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度，先要知道物塊在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，根據(jù)它的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，對(duì)離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度求解；
（2）物塊與擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，物塊對(duì)傳送帶的相對(duì)位移△x大小與傳送帶的速度有關(guān)，由于傳送帶的速度是一個(gè)范圍值，所以解出來(lái)的相對(duì)位移應(yīng)該也是一個(gè)范圍；要討論在傳送帶上的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式來(lái)求相對(duì)位移．

解答 解：（1）設(shè)物塊以v₀在帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)直到停止的位移為x，則${v}_{0}^{2}$=2ax…①
由ma=μmg…②
聯(lián)立①②得x=2L＞L，故物塊一直在傳送帶上做勻減速運(yùn)動(dòng)直到離開(kāi)傳送帶，
設(shè)離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度為v₁，即物塊與擋板碰撞時(shí)的速度，
則${v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}$=2aL…③
聯(lián)立②③得v₁=$\sqrt{gL}$
（2）I、當(dāng)v=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時(shí)，物塊相對(duì)于傳送帶靜止，△x=0…④
Ⅱ、當(dāng)$\frac{\sqrt{gL}}{4}$$≤v＜\frac{\sqrt{gL}}{2}$時(shí)，物塊在傳送帶上減速，設(shè)減速到傳送帶左端的速度為v′，則（$\frac{{v}_{1}}{2}$）²-v′²=2aL…⑤
得v′²＜0，故不成立，應(yīng)該是減速到與傳送帶共速后勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，
設(shè)經(jīng)過(guò)t與傳送帶共速，則$\frac{{v}_{1}}{2}$-v=at…⑥
此時(shí)的位移△x=$\frac{\frac{{v}_{1}}{2}+v}{2}-vt$…⑦
聯(lián)立②⑥⑦解得，0＜△x≤$\frac{L}{16}$．
Ⅲ、當(dāng)v＞$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時(shí)，物塊在傳送帶上加速，若一直加速，設(shè)物塊運(yùn)動(dòng)到傳送帶左端的速度為v″，
則v″²-（$\frac{{v}_{1}}{2}$）²=2aL…⑧
解得v″=$\frac{\sqrt{5gL}}{2}$
若$\frac{\sqrt{5gL}}{2}$$≤v≤2\sqrt{gL}$，物塊一直加速，則v″-$\frac{{v}_{1}}{2}$=at′…⑨
此時(shí)相對(duì)位移△x=vt′-L…⑩
聯(lián)立②⑨⑩解得，$\frac{3-\sqrt{5}}{2}L≤△x≤（2\sqrt{5}-3）L$
若$\frac{\sqrt{gL}}{2}$$＜v＜\frac{\sqrt{5gL}}{2}$，則物塊加速到與傳送帶共速后勻速，
則v-$\frac{{v}_{1}}{2}$=at″…⑪
△x=vt″-$\frac{v+\frac{{v}_{1}}{2}}{2}$t″…⑫
聯(lián)立②⑪⑫解得，0$＜△x＜\frac{3-\sqrt{5}}{2}L$
答：（1）物塊與擋板碰撞時(shí)的速度大小為$\sqrt{gL}$，
（2）物塊與擋板碰撞后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)傳送速度v=$\frac{{v}_{1}}{2}$=$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時(shí)，物塊相對(duì)于傳送帶靜止，△x=0；
當(dāng)$\frac{\sqrt{gL}}{4}$$≤v＜\frac{\sqrt{gL}}{2}$時(shí)，0＜△x≤$\frac{L}{16}$；
當(dāng)v＞$\frac{\sqrt{gL}}{2}$時(shí)，$0＜△x≤（2\sqrt{5}-3）L$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查牛頓第二定律運(yùn)用和物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的討論，通過(guò)對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的分析利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解題，做題的過(guò)程中一定要思路清晰，知道要分哪幾種情況討論是解題的關(guān)鍵．