Question

2．我國(guó)月球探測(cè)計(jì)劃“嫦娥工程”已經(jīng)啟動(dòng)，科學(xué)家對(duì)月球的探索會(huì)越來越深入．
（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求出月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r，引力常量為G，試求出月球的質(zhì)量M_月．

Answer 1

分析 （1）地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，月球繞地球圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力據(jù)此列式求解；
（2）根據(jù)豎直上拋運(yùn)動(dòng)的速度和時(shí)間求得月球表面的重力加速度，再根據(jù)萬(wàn)有引力等于重力求得月球質(zhì)量．

解答 解：（1）在地球表面有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$    ①
月球繞地球圓周運(yùn)動(dòng)有：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$       ②
由①②兩式解得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2）根據(jù)豎直上拋規(guī)律可知，以v₀上拋的物體運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$
可得月球表面的重力加速度$g′=\frac{2{v}_{0}}{t}$
在月球表面，重力與萬(wàn)有引力相等有：
$G\frac{{M}_{月}m}{{r}^{2}}=mg′$
代入重力加速度可得月球質(zhì)量M_月=$\frac{g′{r}^{2}}{G}$=$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$
答：（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，月球繞地球的運(yùn)動(dòng)近似看做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）若宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球表面某處以速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)過時(shí)間t，小球落回拋出點(diǎn)．已知月球半徑為r，引力常量為G，月球的質(zhì)量M_月為$\frac{2{v}_{0}{r}^{2}}{Gt}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力應(yīng)用問題主要思路有：一星表面重力與萬(wàn)有引力相等，二是萬(wàn)有引力提供環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力．