Question

(1)如圖甲，在光滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各聯(lián)結(jié)一個小球構(gòu)成，兩小球質(zhì)量相等．現(xiàn)突然給左端小球一個向右的速度μ₀，求彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)，每個小球的速度．

(2)如圖乙，將N個這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當(dāng)位置上，這時(shí)它的彈性勢能為E₀．其余各振子間都有一定的距離，現(xiàn)解除對振子1的鎖定，任其自由運(yùn)動，當(dāng)它第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)，剛好與振子2碰撞，此后，繼續(xù)發(fā)生一系列碰撞，每個振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復(fù)到自然長度時(shí)與下一個振子相碰．求所有可能的碰撞都發(fā)生后，每個振子彈性勢能的最大值．已知本題中兩球發(fā)生碰撞時(shí)，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)每個小球質(zhì)量為，以、分別表示彈簧恢復(fù)到自然長度時(shí)左右兩端小球的速度．由動量守恒和能量守恒定律有mu1＋mu2＝mu0(以向右為速度正方向),，解得． 由于振子從初始狀態(tài)到彈簧恢復(fù)到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球持續(xù)減速，使右端小球持續(xù)加速，因此應(yīng)該取解：u1＝0，u2＝u0; (2)以v1、v1分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復(fù)到自然長度時(shí)左右兩小球的速度，規(guī)定向右為速度的正方向，由動量守恒和能量守恒定律，mv1＋mv1’＝0 ，得 在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態(tài)，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應(yīng)取解：振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變?yōu)?，左端小球速度仍為，此后兩小球都向左運(yùn)動，當(dāng)它們向左的速度相同時(shí)，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設(shè)此速度為，根據(jù)動量守恒定律： 2mv10＝mv1用E1表示最大彈性勢能，由能量守恒有 解得