Question

一個光滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角
θ=30°，如圖所示，一條長度為l的輕繩，一端的位置固定在圓錐體的頂點O處，另一端拴著著一個質量為m的小物體（可視為質點）．物體以速率υ繞圓錐體的軸線做水平勻速圓周運動．則：
①當υ=

gl 4

時，繩的拉力大小為多少？
②當υ=

3 2 gl

時，繩的拉力大小為多少？

Answer 1

分析：先求出物體剛要離開錐面時的速度，此時支持力為零，根據牛頓第二定律求出該臨界速度．
當速度大于臨界速度，則物體離開錐面，當速度小于臨界速度，物體還受到支持力，根據牛頓第二定律，物體在豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，求出繩子的拉力．

解答：解：當物體剛離開錐面時，設其速度為v₀，則根據牛頓第二定律得：Tcosθ-mg=0，
由拉力與重力的合力提供向心力，則有：mgtanθ=m

v 2 0

lsinθ

解之得：v₀=

3 6 gl

①v=

gl 4

＜v₀，則球會受到斜面的支持力，因此由支持力、重力與拉力的合力提供向心力．
對球受力分析，如圖所示，則有
 T₁sinθ-N₁cosθ=m

v 2

lsinθ

①
 T₁cosθ+N₁sinθ=mg ②
由①②聯式解之得：T₁=

1+2 3

4

mg；
②v=

3 2 gl

＞v₀，球離開斜面，只由重力與拉力的合力提供向心力，且細繩與豎直方向夾角已增大．
如圖所示，設線與豎直方向上的夾角為α，
 T₂sinα=m

v2

lsinα

 ③
 T₂cosα=mg  ④
由③④聯式解得：T₂=2mg．
答：
①當υ=

gl 4

時，繩的拉力大小為

1+2 3

4

mg．
②當υ=

3 2 gl

時，繩的拉力大小為2mg．

點評：解決本題的關鍵找出物體的臨界情況，以及能夠熟練運用牛頓第二定律求解．