Question

7．中國計劃在2017年實現(xiàn)返回式月球軟著陸器對月球進行科學探測，宇航員在月球上著陸后，將一個小球從距月球表面高度h處自由釋放，測得小球從靜止落到月球上的時間為t，不計阻力．已知月球半徑為R，萬有引力常量為G．求：
（1）月球的質量M_月；
（2）如果要在月球上發(fā)射一顆繞月球運行的衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度；
（3）當著陸器繞距月球表面高H的軌道上運動時，著陸器環(huán)繞月球運動的周期．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)自由落體運動的知識求出月球表面的重力加速度．根據(jù)萬有引力等于重力求出月球的質量．
（2）以最小速度發(fā)射的衛(wèi)星將貼著月球的表面運行，軌道半徑等于月球的半徑．根據(jù)萬有引力提供向心力求出最小的發(fā)射速度．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力求著陸器環(huán)繞月球運動的周期

解答 解：（1）設月球表面的重力加速度為g，由自由落體運動可得：h=$\frac{1}{2}$gt²
得：$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$
著陸器在月球表面所受的萬有引力等于重力，有：$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
得：${M}_{月}^{\;}=\frac{2{R}_{\;}^{2}h}{G{t}_{\;}^{2}}$
（2）衛(wèi)星繞月球表面運行，有：$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：$v=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
（3）由牛頓第二定律有：$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{（R+H）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+H）$
聯(lián)立得：$T=\frac{πt（R+H）}{R}\sqrt{\frac{2（R+H）}{h}}$
答：（1）月球的質量${M}_{月}^{\;}$為$\frac{2{R}_{\;}^{2}h}{G{t}_{\;}^{2}}$；
（2）如果要在月球上發(fā)射一顆繞月球運行的衛(wèi)星，所需的最小發(fā)射速度$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$；
（3）當著陸器繞距月球表面高H的軌道上運動時，著陸器環(huán)繞月球運動的周期$\frac{πt（R+H）}{R}\sqrt{\frac{2（R+H）}{h}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力，以及萬有引力提供做衛(wèi)星做圓周運動的向心力．