Question

12．如圖所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中有一絕緣的光滑離心軌道，一個(gè)帶負(fù)電的小球從斜軌道上的A點(diǎn)由靜止釋放，沿軌道滑下，已知小球的質(zhì)量為m，電量為-q，勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E，斜軌道的傾角為α（小球的重力大于所受的電場(chǎng)力）．
（1）求小球沿斜軌道下滑的加速度的大��；
（2）若使小球通過半徑為R的圓軌道頂端的B點(diǎn)時(shí)不落下來，求A點(diǎn)距水平地面的高度h至少應(yīng)為多大？
（3）若小球從斜軌道h=5R處由靜止釋放，假設(shè)能夠通過B點(diǎn)，求在此過程中小球機(jī)械能的改變量．

Answer 1

分析 （1）對(duì)小球進(jìn)行受力分析，由牛頓第二定律即可求出加速度；
（2）小球恰好通過最高點(diǎn)，則由向心力公式可求得B點(diǎn)的速度；對(duì)AB過程由動(dòng)能定理可得A在軌道上的高度；
（3）小球由h=5R處到B過程中小球機(jī)械能的改變量等于電場(chǎng)力做的功．

解答 解：（1）小球受到重力、支持力和向上的電場(chǎng)力的作用，沿斜面方向有：
mgsinα-qEsinα=ma
得：$a=\frac{mgsinα-qEsinα}{m}=gsinα-\frac{qE}{m}sinα$
（2）設(shè)小球到B點(diǎn)的最小速度為v_B，則牛頓第二定律：
$mg-Eq=m\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：${v}_{B}=\sqrt{gR-\frac{qE}{m}R}$
小球從A到B的過程中由動(dòng)能定理：
$（mg-qE）（h-2R）=\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
解得：h=2.5R  
（3）小球運(yùn)動(dòng)的過程中只有重力和電場(chǎng)力做功，所以小球由h=5R處到B過程中小球機(jī)械能的改變量等于電場(chǎng)力做的功．即△E_機(jī)械=△E_電=qE△x=qE•（h-2R）=3qER
答：（1）小球沿斜軌道下滑的加速度的大小是$gsinα-\frac{qE}{m}sinα$；
（2）若使小球通過圓軌道頂端的B點(diǎn)時(shí)不落下來，A點(diǎn)距水平地面的高度h至少應(yīng)為2.5R；
（3）小球由h=5R處到B過程中小球機(jī)械能的改變量是3qER．

點(diǎn)評(píng) 本題考查動(dòng)能定理及向心力公式的應(yīng)用，在解題時(shí)注意計(jì)算中的中間過程不必解出，而應(yīng)聯(lián)立可以簡(jiǎn)單求出．