Question

2．我國于2010年啟動探月計劃--“嫦娥工程”，同學們也對月球有了更多的關注．若已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，萬有引力常量為G，月球繞地球的運動近似看作勻速圓周運動，試求出：
（1）地球的質量M；
（2）月球繞地球運動的軌道半徑r．

Answer 1

分析 （1）根據萬有引力等于重力求出地球的質量．
（2）根據萬有引力提供向心力，結合周期的大小求出月球繞地球運動的軌道半徑．

解答 解：（1）地球表面的物體所受的萬有引力等于物體重力，$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
解得地球的質量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$．
（2）月球做勻速圓周運動，萬有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得月球繞地球運動的軌道半徑r=$\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．
答：（1）地球的質量M為$\frac{g{R}^{2}}{G}$；
（2）月球繞地球運動的軌道半徑為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$．

點評 解決本題的關鍵掌握萬有引力定律的兩個重要推論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運用．