Question

【題目】如圖所示，一個(gè)豎直固定放置、且導(dǎo)熱良好的圓筒型氣缸內(nèi)部盛有理想氣體。氣缸內(nèi)部橫截面積為S=100cm2，深度為L=120cm。氣缸上面被一厚度不計(jì)的活塞蓋住，活塞通過(guò)勁度系數(shù)為k=200N/m的彈簧與氣缸底部相連接。當(dāng)系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)時(shí)，活塞到缸底的距離為L1=100cm。現(xiàn)在在活塞中央輕輕放置一個(gè)重力為G=300N的物塊，活塞下降到距缸底的距離為L2=80cm時(shí)剛好靜止不動(dòng)。在不去掉物塊的情況下，在活塞上的中點(diǎn)加一個(gè)豎直向上的拉力，使活塞緩慢移動(dòng)到氣缸口處。已知?dú)飧字車�外界環(huán)境溫度保持不變，外界大氣壓強(qiáng)P0=1.0×105Pa，不計(jì)摩擦及活塞和彈簧的質(zhì)量，并假定在整個(gè)過(guò)程中，氣缸不漏氣，彈簧遵從胡克定律。試求：活塞到氣缸口處時(shí)，拉力的大小和彈簧的原長(zhǎng)。

Answer 1

【答案】513.3N，0.8m

【解析】

取氣體為研究對(duì)象，設(shè)不放物塊時(shí)，為狀態(tài)1，氣體壓強(qiáng)為1，體積為V1；放上物塊靜止時(shí)，為狀態(tài)2，氣體壓強(qiáng)為2，體積為V2；活塞在氣缸口處時(shí)為狀態(tài)3，氣體壓強(qiáng)為3，體積為V3。

在狀態(tài)1，設(shè)彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，伸長(zhǎng)量為x1（解出為負(fù)值為壓縮狀態(tài)），有

V1=L1S

根據(jù)活塞的受力（如圖1所示）有

1S=0S+kx1

在狀態(tài)2，設(shè)彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，伸長(zhǎng)量為x2（解出為負(fù)值為壓縮狀態(tài)），有

V2=L2S

根據(jù)活塞的受力（如圖2所示）有

2S=0S+kx2+G

在狀態(tài)3，設(shè)彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，伸長(zhǎng)量為x3（解出為負(fù)值為壓縮狀態(tài)），有

V3=LS

根據(jù)活塞的受力（如圖3所示）有

3S+F=0S+kx3+G

從狀態(tài)1到狀態(tài)2的過(guò)程，由理想氣體狀態(tài)方程得

1L1S =2L2S

從狀態(tài)1到狀態(tài)3的過(guò)程，由理想氣體狀態(tài)方程得

1L1S =3LS

由題意知

x1=x2+（L1L2）

x3=x1+（LL1）

設(shè)彈簧原長(zhǎng)為L0，有

x1=L1L0

解得活塞到氣缸口處時(shí)，拉力的大小

F=N≈513.3N

彈簧的原長(zhǎng)

L0=0.8m