Question

12．如圖甲所示，在坐標(biāo)系xOy平面內(nèi)，y軸的左側(cè)有一個(gè)速度選擇器，其中電場(chǎng)強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀．粒子源不斷地釋放出沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量均為m、電量均為+q、速度大小不同的粒子．在y軸的右側(cè)有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小恒為B，方向垂直于xOy平面，且隨時(shí)間做周期性變化（不計(jì)其產(chǎn)生的電場(chǎng)對(duì)粒子的影響），規(guī)定垂直xOy平面向里的磁場(chǎng)方向?yàn)檎�，如圖乙所示．在離y軸足夠遠(yuǎn)的地方有一個(gè)與y軸平行的熒光屏．假設(shè)帶電粒子在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間達(dá)到磁場(chǎng)的一個(gè)變化周期之后，失去電荷變?yōu)橹行粤Ｗ樱�（粒子的重力忽略不�?jì)）
（1）從O點(diǎn)射入右側(cè)磁場(chǎng)的粒子速度多大；
（2）如果磁場(chǎng)的變化周期恒定為T(mén)=$\frac{πm}{Bq}$，要使不同時(shí)刻從原點(diǎn)O進(jìn)入變化磁場(chǎng)的粒子做曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間等于磁場(chǎng)的一個(gè)變化周期，則熒光屏離開(kāi)y軸的距離至少多大；
（3）熒光屏離開(kāi)y軸的距離滿(mǎn)足（2）的前提下，如果磁場(chǎng)的變化周期T可以改變，試求從t=0時(shí)刻經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的粒子打在熒光屏上的位置離x軸的距離與磁場(chǎng)變化周期T的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子沿直線(xiàn)通過(guò)速度選擇器，則洛倫茲力與電場(chǎng)力是一對(duì)平衡力qvB=qE，化簡(jiǎn)可得粒子的速度．
（2）粒子垂直于磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)中，洛倫茲力提供向心力，應(yīng)用牛頓第二定律結(jié)合幾何關(guān)系，畫(huà)出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由運(yùn)動(dòng)學(xué)的公式即可求出；
（3）結(jié)合（2）的分析與幾何關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）因?yàn)榱Ｗ釉谒俣冗x擇器中運(yùn)動(dòng)時(shí)受力平衡，即B₀qv=Eq，
解得：$v=\frac{E}{{B}_{0}}$，
（2）帶電粒子進(jìn)入y軸右側(cè)之后，在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為：$r=\frac{mv}{Bq}=\frac{mE}{B{B}_{0}q}$，
因?yàn)榇艌?chǎng)的變化周期恒為$T=\frac{mπ}{Bq}$，所以粒子在該磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期所轉(zhuǎn)過(guò)的角度為90°，任一時(shí)刻進(jìn)入y軸右側(cè)磁場(chǎng)的粒子其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示

為使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)滿(mǎn)一個(gè)變化周期，熒光屏離開(kāi)y軸的距離應(yīng)該為：
$x=2rsinα+2rsin（90°-α）=2rsinα+2rcosα=2\sqrt{2}sin（45°+α）$
當(dāng)π=45°時(shí)，x的值最大，最大值為：$x=2\sqrt{2}r=2\sqrt{2}\frac{mE}{B{B}_{0}q}$
（3）因?yàn)閹щ娏Ｗ釉趦蓚�(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，所以其軌跡具有對(duì)稱(chēng)性，如圖乙所示，其經(jīng)過(guò)一個(gè)磁場(chǎng)變化周期之后的速度方向與x軸方向平行，且此時(shí)距x軸的距離為y=2r（1-cosα），

式中的α為粒子在變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)半個(gè)周期所轉(zhuǎn)過(guò)的 角度，其余周期T的關(guān)系為$\frac{T}{2}=\frac{αm}{Bq}$，則$α=\frac{BqT}{2m}$，
所以經(jīng)過(guò)一個(gè)周期后，距x軸的距離為：$y=2\frac{mE}{B{B}_{0}q}（1-cos\frac{BqT}{2m}）$
由于只有在y軸的右側(cè)才有變化的磁場(chǎng)，所以帶電粒子最大轉(zhuǎn)過(guò)的角度不會(huì)超過(guò)150°，如圖丙所示，

即磁場(chǎng)的變化周期有一個(gè)最大值，$\frac{{T}_{m}}{2}=\frac{\frac{5}{6}πm}{Bq}$，所以$T＜{T}_{m}=\frac{5πm}{3Bq}$．
答：（1）從O點(diǎn)射入右側(cè)磁場(chǎng)的粒子速度為$\frac{E}{{B}_{0}}$；
（2）熒光屏離開(kāi)y軸的距離至少為$2\sqrt{2}\frac{mE}{B{B}_{0}q}$；
（3從t=0時(shí)刻經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的粒子打在熒光屏上的位置離x軸的距離與磁場(chǎng)變化周期T的關(guān)系是T$＜\frac{5πm}{3Bq}$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在組合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，首先要運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法分析清楚粒子的運(yùn)動(dòng)情況，再選擇合適方法處理．對(duì)于勻變速曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，常常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，將其分解為兩個(gè)直線(xiàn)的合成，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式結(jié)合求解；對(duì)于磁場(chǎng)中圓周運(yùn)動(dòng)，要正確畫(huà)出軌跡，由幾何知識(shí)求解半徑．