Question

如圖所示，虛線MO與水平線PQ相交于O，二者夾角θ=30°，在MO左側(cè)存在電場(chǎng)強(qiáng)度為E、方向豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)，MO右側(cè)某個(gè)區(qū)域存在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，O點(diǎn)處在磁場(chǎng)的邊界上．現(xiàn)有一群質(zhì)量為m、電量為+q的帶電粒子在紙面內(nèi)以速度v（0≤v≤

E

B

）垂直于MO從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，所有粒子通過(guò)直線MO時(shí)，速度方向均平行于PQ向左．不計(jì)粒子的重力和粒子間的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子自O(shè)點(diǎn)射入磁場(chǎng)至返回水平線POQ所用的時(shí)間．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積．
（3）根據(jù)你以上的計(jì)算可求出粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離，請(qǐng)寫出該距離的大�。ㄖ灰獙懗鲎钸h(yuǎn)距離的最終結(jié)果，不要求寫出解題過(guò)程）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，根據(jù)軌道知，粒子經(jīng)歷三個(gè)運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)中的勻速圓周運(yùn)動(dòng)、離開磁場(chǎng)后的勻速直線運(yùn)動(dòng)和進(jìn)入電場(chǎng)后的類平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)題設(shè)條件分三段分別利用運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解粒子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間即可；
（2）根據(jù)題目條件，磁場(chǎng)區(qū)域只需要存在于粒子發(fā)生偏轉(zhuǎn)的過(guò)程中，作出不同速度粒子的偏情況，求出滿足條件的磁場(chǎng)區(qū)域即可；
（3）分三段求PO間的距離，圓周運(yùn)動(dòng)部分、勻速運(yùn)動(dòng)部分和類平拋運(yùn)動(dòng)部分．

解答：解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，設(shè)粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，周期為T，粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁

則 qBv=

mv2

R

即R=

mv

qB

T=

2πm

qB

t1=

1

3

T
最大速度v_m的粒子自N點(diǎn)水平飛出磁場(chǎng)，出磁場(chǎng)后做勻速運(yùn)動(dòng)至OM，設(shè)勻速運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₂，有：t2=

R

vmtanθ

過(guò)MO后粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t₃，則：

3

2

R=

1

2

qE

m

t32
又由題知最大速度v_m=

E

B

則速度最大的粒子自O(shè)進(jìn)入磁場(chǎng)至重回水平線POQ所用的時(shí)間t=t₁+t₂+t₃
解以上各式得：t=

6 3 +2π

3

m

qB

（2）（6分）由題知速度大小不同的粒子均要水平通過(guò)OM，則其飛出磁場(chǎng)的位置均應(yīng)在ON的連線上，故磁場(chǎng)范圍的最小面積△S是速度最大的粒子在磁場(chǎng)中的軌跡與ON所圍成的面積．

扇形OO'N的面積S=

1

3

πR2
△OO'N的面積為：S′=R2cos300sin300=

3

4

R2
又△S=S-S'（1分）
聯(lián)立得：△S=(

π

3

-

3

4

)

m2E2

q2B4

（3）粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離d=

4 3 +1

2

mE

qB2

．（由分析知，最遠(yuǎn)距離分三段求，圓周運(yùn)動(dòng)部分，勻速運(yùn)動(dòng)部分和類平拋運(yùn)動(dòng)部分）
答：（1）速度最大的粒子自O(shè)點(diǎn)射入磁場(chǎng)至返回水平線POQ所用的時(shí)間為

6 3 +2π

3

m

qB

．
（2）磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為(

π

3

-

3

4

)

m2E2

q2B4

．
（3）根據(jù)你以上的計(jì)算可求出粒子射到PQ上的最遠(yuǎn)點(diǎn)離O的距離，該距離的大小

4 3 +1

2

×

mE

qB2

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)和在電場(chǎng)中做類平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，對(duì)學(xué)生幾何能力要求較高．