Question

相距為L的光滑平行導軌與水平面成θ角放置，上端連電阻R，處在與所在平面垂直的勻強磁場中，磁感應強度大小為B₀，電阻為r的導體MN（質(zhì)量m）垂直導軌并在兩導軌上，導體MN距離上端電阻R的距離也為L．（設B₀=1T，L=1m，θ=30°，m=0.1kg，R=0.8Ω，r=0.2Ω，g=10m/s²．）
（1）靜止釋放導體MN，求：
①MN獲得的最大速度v_m．
②若MN沿斜面下滑0.2m時恰好獲得最大速度，求在此過程中回路一共生熱多少焦？
（2）設單位時間內(nèi)磁感應強度增加量為k，磁感應強度初始值為B₀．現(xiàn)給一個平行斜面且垂直MN的外力（設沿斜面向上為外力的正方向），使導體MN始終靜止在軌道上．寫出外力F隨時間t的變化關系式并畫出F（沿斜面向上為正）隨時間t的函數(shù)圖象（k=1T/s）．

Answer 1

分析：（1）導體MN由靜止釋放，沿導軌向下做加速運動，當導體MN所受合力為零時，導體做勻速直線運動，速度達到最大，對導體進行受力分析，由平衡條件求出導體獲得的最大速度；導體克服安培力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由能量守恒定律可以求出回路產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）由法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由歐姆定律求出感應電流，由F=BIL求出安培力大小，由楞次定律判斷出感應電流方向，由左手定值判斷出安培力的方向，對導體受力分析，由平衡條件列方程求出拉力大小，然后作出圖象．

解答：解：（1）①導體受力如圖1所示，
安培力F_安=B₀IL=B₀

B0Lv

R+r

L=

B 2 0 L2v

R+r

，
導體MN由靜止開始向下做加速度減小的加速運動，當導體所受合力為零時，速度達到最大v_m，由平衡條件得：mgsin30°=

B 2 0 L2vm

R+r

，
最大速度v_m=

mg(R+r)sin30°

B 2 0 L2

=0.5m/s；
②由能量守恒定律得：mgxsin30°=

1

2

mv_m²+Q，解得：Q=0.0875J；
（2）由題意知B=B₀+kt，由法拉第電磁感應定律得：
E=

△Φ

△t

=S

△B

△t

=kL²
安培力：F_安′=BIL=B

E

R+r

L=

kBL3

R+r

，
導體受力如圖2所受，由平衡條件得：
mgsin30°+F=

kBL3

R+r

，F(xiàn)平行于斜面向下，
則：F=

kBL3

R+r

-mgsin30°=

k(B0+kt)L3

R+r

-mgsin30°，
平行于斜面向上為正方向，F(xiàn)平行于斜面向下，是負的，
F-t圖象如圖所示．
答：（1）①MN獲得的最大速度v_m=0.5m/s；
②若MN沿斜面下滑0.2m時恰好獲得最大速度，在此過程中回路產(chǎn)生的熱量為0.0875J．
（2）外力F隨時間t的變化關系式為：則F=

k(B0+kt)L3

R+r

-mgsin30°；F-t圖象如圖所示．

點評：在導體MN沿軌道下滑時，導體受到的安培力是變力，當安培力達到等于重力沿斜面向下的分力時，導體導體受到的合力為零，導體做勻速直線運動，速度達到最大．