Question

質(zhì)量M=10kg的B板上表面上方，存在一定厚度的相互作用區(qū)域，如圖中劃虛線的部分，當(dāng)質(zhì)量m=1kg的物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)時，B便有豎直向上的恒力f作用于P，f=kmg，k=51，f對P的作用使P剛好不與B的上表面接觸；在水平方向，P、B之間沒有相互作用力．已知物塊P開始自由下落的時刻，B板向右運動的速度為v₀=10m/s．P從開始下落到剛到達(dá)相互作用區(qū)所經(jīng)歷的時間為T₀=2.0s．設(shè)B板足夠長，B板與水平面間的動摩擦因數(shù)μ=0.02，為保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區(qū)，問：當(dāng)B剛好停止運動時，P已經(jīng)回到過初始位置幾次？（g=9.8m/s²）

Answer 1

分析：物體P自由落體運動階段和減速階段，物塊B的加速度不同，根據(jù)牛頓第二定律求解出兩過程B的加速度，然后根據(jù)速度時間關(guān)系公式求解末速度，并進(jìn)一步得到速度的改變量；物體P從最低點返回到最高點過程與下降過程具有對稱性，即從最高點釋放到返回最高點是一個最小周期，此后重復(fù)這種過程．

解答：解：根據(jù)題意，在物塊P從開始下落至剛要進(jìn)入相互作用區(qū)的時間T₀內(nèi)，板在摩擦力作用下的加速度a1=

μMg

M

=μg
板速度的減少量△v₁=aT₀即△v₁=μgT₀
代入數(shù)據(jù)，得△v₁=0.392m/s
物塊P進(jìn)入相互作用區(qū)后，便受到板的向上作用力，因而做減速運動．
物塊P剛進(jìn)入相互作用區(qū)的速度v₀=gT₀
設(shè)在相互作用區(qū)內(nèi)物塊P做減速運動的加速度為a，
則由題給條件可知a=

kmg-mg

m

=(k-1)g
經(jīng)歷時間T，物塊剛要到達(dá)B板上表面，則有 v₀=aT
由以上三式解得T=

T0

k-1

在T時間內(nèi)，B板受到的摩擦力為  μ（Mg+kmg），
在摩擦力作用下的B板加速度a2=

μ(Mg+kmg)

M

在這段時間內(nèi)，B板速度的減少量△v₂=a₂T
即△v2=

μ(M+km)gT0

(k-1)M

代入數(shù)據(jù)，解得△v2=4.782×10-2m/s
當(dāng)物塊P的速度減到零后，又開始以加速度a向上做加速運動，經(jīng)歷時間T，跑出相互作用區(qū)，在這段時間內(nèi)，B板減少的速度仍是△v₂；
物塊P離開相互作用區(qū)后，做加速度為g的減速運動，經(jīng)歷時間T₀，回到初始位置，在這段時間內(nèi)，B板減少的速度為△v₁，以后物塊又從起始位置自由落下，重復(fù)以前的運動，B板的速度再次不斷減少．
總結(jié)以上分析可知：
每當(dāng)物塊P完成一次從起始位置自由下落，進(jìn)入相互作用區(qū)后又離開相互作用區(qū)，最后回到起始位置的過程中，
B板速度減少的總量為△v=2△v₁+2△v₂
代入△v=0.8796m/s
設(shè)在物塊P第n次回到起始位置時刻，B板的速度為v_n，則有v_n=v₀-n△v，n越大，v_n越小．
設(shè)當(dāng)n=n₀時，v_n已十分小，致使在物塊P由n=n₀到n=n₀+1的過程中的某一時刻，B板的速度已減至零，
若仍用上式，則表示當(dāng)n=n₀時，v_n0＞0；當(dāng)n=n₀+1時，v_n0+1＜0，
即有  v₀-n₀△v＞0，v₀-（n₀+1）△v＜0
代入有關(guān)數(shù)據(jù)，得 n₀＜11.37，n₀＞10.37
因為

n

0

為整數(shù)，故有n₀=11，即當(dāng)B開始停止運動的那一時刻，P已經(jīng)回到過初始位置11次   
答：當(dāng)B剛好停止運動時，P已經(jīng)回到過初始位置11次．

點評：本題關(guān)鍵明確物體P與木板B的運動規(guī)律，然后分階段分別對物體P和B受力分析，求解加速度，運用運動學(xué)公式列式求解，較難．