Question

17．如圖所示，以兩虛線為邊界，中間存在平行紙面且與邊界垂直的水平電場(chǎng)，寬度為d，兩側(cè)為相同的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里．一質(zhì)量為m、帶電量+q、重力不計(jì)的帶電粒子，以初速度v₁垂直邊界射入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后進(jìn)入電場(chǎng)做勻加速運(yùn)動(dòng)，然后第二次進(jìn)入磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，此后粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中交替運(yùn)動(dòng)．已知粒子第二次在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑是第一次的二倍，第三次是第一次的三倍，以此類推．求：
（1）粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功W₁；
（2）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n；
（3）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n；
（4）假設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，電場(chǎng)區(qū)域場(chǎng)強(qiáng)為零．請(qǐng)畫(huà)出從粒子第一次射入磁場(chǎng)至第三次離開(kāi)電場(chǎng)的過(guò)程中，電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線（不要求寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程，不要求標(biāo)明坐標(biāo)刻度值）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑R_n與速度的關(guān)系式，由題給條件研究粒子第2次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程的末速度，根據(jù)動(dòng)能定理求解粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功W₁．
（2）根據(jù)第（1）問(wèn)的結(jié)果可知粒子第n+1次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)和第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度，即第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)和穿出電場(chǎng)時(shí)的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n．
（3）根據(jù)牛頓第二定律求出粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)的加速度，由（2）結(jié)論，由速度公式求出粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n．
（4）根據(jù)E_n的表達(dá)式，分別求出粒子前三次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)的電場(chǎng)強(qiáng)度，再作圖．

解答 解：（1）設(shè)粒子第n次進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的半徑為R_n，速度為v_n，
由牛頓第二定律得：qv_nB=m$\frac{{v}_{n}^{2}}{{r}_{n}^{\;}}$    ①解得：v_n=$\frac{qB{r}_{n}}{m}$  ②
因?yàn)椋簉₂=2r₁，則：v₂=2v₁ ③
對(duì)粒子第一次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，
由動(dòng)能定理得：W₁=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁² ④
聯(lián)立③④解得：W₁=$\frac{3}{2}$mv₁² ⑤；
（2）粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)速度為v_n，穿出電場(chǎng)時(shí)速度為v_n+1，
由題意知：v_n=nv₁，v_n+1=（n+1）v₁    …⑥
由動(dòng)能定理得：qE_nd=$\frac{1}{2}$mv_n+1²-$\frac{1}{2}$mv_n² ⑦
聯(lián)立⑥⑦解得：E_n=$\frac{（2n+1）m{v}_{1}^{2}}{2qd}$  ⑧；
（3）設(shè)粒子第n次在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的加速度為a_n，
由牛頓第二定律得qE_n=ma_n…⑨
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得v_n+1-v_n=a_nt_n…⑩
聯(lián)立⑥⑦⑧⑨⑩解得：t_n=$\frac{2d}{（2n+1）{v}_{1}}$；
（4）E-t圖象如圖所示：

答：（1）粒子第一次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)的過(guò)程中電場(chǎng)力所做的功W₁為$\frac{3}{2}$mv₁²；
（2）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)時(shí)電場(chǎng)強(qiáng)度的大小E_n為$\frac{（2n+1）m{v}_{1}^{2}}{2qd}$；
（3）粒子第n次經(jīng)過(guò)電場(chǎng)所用的時(shí)間t_n為$\frac{2d}{（2n+1）{v}_{1}}$；
（4）電場(chǎng)強(qiáng)度隨時(shí)間變化的關(guān)系圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是充分應(yīng)用題給條件研究粒子第n次進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度，穿出電場(chǎng)時(shí)速度．動(dòng)能定理是功常用的方法．