Question

18．如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中的第象限內(nèi)有半徑為R的圓分別與x軸，y軸相切于M、N點(diǎn)，圓內(nèi)存在垂直坐標(biāo)系平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在第I象限內(nèi)存在沿y軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為E．磁場(chǎng)電場(chǎng)在圖中都未畫出，一質(zhì)量為m、電荷量為q的粒子從M點(diǎn)垂直x軸射入磁場(chǎng)后恰好垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，最后從Q（2R，0）點(diǎn)射出電場(chǎng)，出射方向與x軸夾角α=45°，粒子的重力不計(jì)，求：
（1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度v₀；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小和方向；
（3）粒子從M點(diǎn)入射到運(yùn)動(dòng)至Q點(diǎn)的時(shí)間t_總．

Answer 1

分析 （1）由粒子在第Ⅰ象限做類平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和末速度方向，再由題設(shè)場(chǎng)強(qiáng)為E得到初速度v₀ ．
（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，求出粒子做類平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移，得到粒子從磁場(chǎng)中的位置，再由幾何關(guān)系求得粒子在圓形磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由洛侖茲力提供向心力求出磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，由左手定則確定磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向．
（3）由幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)角，從而求出粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再粒子在第Ⅰ象限的時(shí)間就是第三問(wèn)所求所求．

解答 解：（1）設(shè)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，則在Q處，粒子沿y軸方向的分速度：v_y=v₀tanα=v₀
在x軸方向有：2R=v₀t₁
設(shè)y軸方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的加速度為a，由牛頓第二定律有：qE=ma   且：v_y=at₁
解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qEm}{qR}}$
（2）由于粒子在第Ⅰ象限做類平拋運(yùn)動(dòng)的末速度為與x軸成45°，所以水平位移為豎直位移的2倍，則
粒子從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)．畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，O為粒子軌跡圓的圓心，N為粒子射出磁場(chǎng)的位置，
且粒子垂直y軸進(jìn)入電場(chǎng)，則由幾何關(guān)系知粒子軌跡圓半徑等于R．
由向心力公式和牛頓第二定律$qvB=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得：B=$\sqrt{\frac{2Em}{qR}}$
粒子在第一象限運(yùn)動(dòng)沿y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，與電場(chǎng)方向相反，故粒子帶負(fù)電，故根據(jù)左手定則可知：磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向?yàn)榇怪弊鴺?biāo)平面向里．
（3）由圖可知，粒子在磁場(chǎng)內(nèi)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₂=$\frac{1}{4}T$
又T=$\frac{2πm}{qB}$
得：t₂=$\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mR}{2qE}}$
由（1）知粒子在電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t₁=$\sqrt{\frac{2Rm}{qE}}$
故所求時(shí)間為：t_總=t₁+t₂=$\sqrt{\frac{2mR}{qE}}+\frac{π}{2}\sqrt{\frac{mR}{2qE}}$=$（1+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$
答：（1）粒子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度v₀為$\sqrt{\frac{2qEm}{qR}}$．
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為$\sqrt{\frac{2Em}{qR}}$、方向?yàn)榇怪弊鴺?biāo)平面向里．
（3）粒子從M點(diǎn)入射到運(yùn)動(dòng)至Q點(diǎn)的時(shí)間t_總為$（1+\frac{π}{4}）\sqrt{\frac{2mR}{qE}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考察的是帶電粒子先在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，后在勻強(qiáng)電場(chǎng)做類平拋運(yùn)動(dòng)的特例：①是軌跡圓的半徑恰與磁場(chǎng)圓的半徑相等，在求出電場(chǎng)強(qiáng)度的大小之后，最好先求出類平拋運(yùn)動(dòng)的豎直位移，從而確定離開磁場(chǎng)的位置，從而由幾何關(guān)系求出半徑．②在類平拋運(yùn)動(dòng)中末速度方向與水平方向成45°，這樣水平位移就為豎直位移的兩倍，即豎直位移為R，從而確定帶電粒子離開磁場(chǎng)的位置．