Question

14．中國(guó)準(zhǔn)備在2020年發(fā)射火星探測(cè)器，并同時(shí)實(shí)現(xiàn)“繞”“落”和“巡”．已知火星的直徑約是地球直徑的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的10%，由此可知：
（1）“落”：探測(cè)器落到火星表面時(shí)，受到的引力為在地球表面時(shí)的多少倍？
（2）“繞”：物體緊貼星球表面繞行時(shí)的速度為第一宇宙速度．火星的第一宇宙速度為地球第一宇宙速度的多少倍？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)火星與地球的半徑和質(zhì)量關(guān)系求得引力的倍數(shù)關(guān)系；
（2）星球的第一宇宙速度為繞星球表面圓周運(yùn)動(dòng)的線速度，根據(jù)火星與地球半徑和質(zhì)量關(guān)系求得宇宙速度的倍數(shù)關(guān)系．

解答 解：由題意知$\frac{{R}_{火}}{{R}_{地}}=\frac{1}{2}$，$\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}=\frac{1}{10}$
（1）在火星表面探測(cè)器受到的引力${F}_{火}=\frac{G{M}_{火}}{{R}_{火}^{2}}$，地球表面探測(cè)器受到的引力$；{F}_{地}=\frac{G{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}$${F}_{地}=\frac{G{M}_{地}m}{{R}_{地}^{2}}$
所以$\frac{{F}_{火}}{{F}_{地}}=\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}•（\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}）^{2}$=$\frac{1}{10}×（\frac{2}{1}）^{2}$=0.4
即探測(cè)器在火星受到引力是地球受到引力的0.4倍；
（2）據(jù)萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$可得地球表面的第一宇宙速度${v}_{地}=\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}$，同理可得火星表面的第一宇宙速度${v}_{火}=\sqrt{\frac{G{M}_{火}}{{R}_{火}}}$
所以可得：$\frac{{v}_{火}}{{v}_{地}}=\frac{\sqrt{\frac{G{M}_{火}}{{R}_{火}}}}{\sqrt{\frac{G{M}_{地}}{{R}_{地}}}}=\sqrt{\frac{{M}_{火}}{{M}_{地}}}•\sqrt{\frac{{R}_{地}}{{R}_{火}}}$=$\sqrt{\frac{1}{10}}×\sqrt{\frac{2}{1}}$=$\sqrt{\frac{1}{5}}$
即火星第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{1}{5}}倍$
答：（1）“落”：探測(cè)器落到火星表面時(shí)，受到的引力為在地球表面時(shí)的0.4倍；
（2）“繞”：物體緊貼星球表面繞行時(shí)的速度為第一宇宙速度．火星的第一宇宙速度為地球第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{1}{5}}倍$．

點(diǎn)評(píng) 掌握萬(wàn)有引力定律的表達(dá)式，知道第一宇宙速度是圍繞星球表面圓周運(yùn)動(dòng)的速度，能根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力求得第一宇宙速度的表達(dá)式是正確解題的關(guān)鍵．