Question

如圖所示，水平線MN的上方區(qū)域是場(chǎng)強(qiáng)大小為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其方向指向右上方向且與MN的夾角θ=45°，水平線MN的下方是有一定高度的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其方向垂直紙面向外．一個(gè)不計(jì)重力的帶負(fù)電的粒子，從MN上的O點(diǎn)，以v₀的初速度沿電場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)．已知粒子的電量為q，質(zhì)量為m，求：
（1）要使粒子離開勻強(qiáng)電場(chǎng)后能夠再次返回勻強(qiáng)電場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的高度d至少為多少？
（2）若水平虛線MN下方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)是足夠高，求粒子離開O點(diǎn)后第一次回到水平線MN進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次回到MN的過程，所用的時(shí)間t₁為多少？
（3）粒子第二次回到MN到第三次回到MN的過程，所用的時(shí)間t₂為多少？

Answer 1

分析：（1）分析帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情況：粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，先做勻減速運(yùn)動(dòng)，再反向做勻加速運(yùn)動(dòng)，仍以大小為v₀的速度從O點(diǎn)第一次經(jīng)過水平線MN進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖所示．在磁場(chǎng)中由洛倫茲力提供向心力則做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，要使粒子離開勻強(qiáng)電場(chǎng)后能夠再次返回勻強(qiáng)電場(chǎng)，磁場(chǎng)中其軌跡最多到磁場(chǎng)下邊界相切，由牛頓第二定律求出磁場(chǎng)中軌跡半徑，由幾何關(guān)系求解勻強(qiáng)磁場(chǎng)的高度d的最小值．
（2）找出磁場(chǎng)中軌跡的圓心角，即可求解磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間．
（3）粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和牛頓第二定律求解時(shí)間t₂．

解答：解：（1）帶負(fù)電粒子進(jìn)入電場(chǎng)后，先做勻減速運(yùn)動(dòng)，再反向做勻加速運(yùn)動(dòng)，仍以大小為v₀的速度從O點(diǎn)第一次經(jīng)過水平線MN進(jìn)入磁場(chǎng)，如圖所示．
使粒子能夠再次回到電場(chǎng)，磁場(chǎng)寬度至少滿足
 d=R+Rcosθ…①
R為粒子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，
由牛頓第二定律有
qv₀B=m

v 2 0

R

…②
解得勻強(qiáng)磁場(chǎng)原寬度d至少為：
 d=

(2+ 2 )mv0

2qB

…③
（2）粒子從電場(chǎng)中第一次經(jīng)過水平線MN進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁
  T=

2πm

qB

…④
 t₁=

3

4

T=

3πm

2qB

…⑤
（3）粒子從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系可知，位移CD方向與粒子在C點(diǎn)的速度方向夾角α=45°
x=v₀t₂…⑥
y=

qE

2m

t

2 2

…⑦
tan45°=

y

x

…⑧
解得 t2=

2mv0

qE

…⑨
答：
（1）要使粒子離開勻強(qiáng)電場(chǎng)后能夠再次返回勻強(qiáng)電場(chǎng)，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的高度d至少為

(2+ 2 )mv0

2qB

．
（2）粒子離開O點(diǎn)后第一次回到水平線MN進(jìn)入磁場(chǎng)到第二次回到MN的過程，所用的時(shí)間t₁為

3πm

2qB

．
（3）粒子第二次回到MN到第三次回到MN的過程，所用的時(shí)間t₂為

2mv0

qE

．

點(diǎn)評(píng)：本題是帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的問題，分析粒子的運(yùn)動(dòng)情況是關(guān)鍵，要挖掘隱含的臨界條件，運(yùn)用幾何知識(shí)求解空間的距離．