Question

10．某環(huán)保設(shè)備裝置可用于氣體中有害離子的檢測(cè)和分離．離子檢測(cè)的簡(jiǎn)化原理如圖1所示，Ⅰ為電場(chǎng)加速區(qū)，Ⅱ?yàn)闊o(wú)場(chǎng)漂移區(qū)，III為電場(chǎng)檢測(cè)區(qū)．己知I區(qū)中AB與CD兩極的電勢(shì)差為U，距離為L(zhǎng)，Ⅱ區(qū)中CE與DE兩板的間距為d，板長(zhǎng)為4L，Ⅲ區(qū)中EF與GH間距足夠大，其內(nèi)部勻強(qiáng)電場(chǎng)大小為$\frac{U}{2L}$，方向水平向左．假設(shè)大量相同的正離子在AB極均勻分布，由初速度為零開(kāi)始加速，不考慮離子間的相互作用和重力．則：
（l）AB和CD哪一極電勢(shì)高？若正離子比荷為k，求該離子到達(dá)CD極時(shí)的速度大��；
（2）該裝置可以測(cè)出離子從AB極出發(fā)，經(jīng)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)，最后返回EF端的總時(shí)間t．由此可以確定離子的比荷k與t的函數(shù)關(guān)系式．
（3）若將Ⅲ區(qū)的勻強(qiáng)電場(chǎng)換成如圖2所示的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，則電場(chǎng)檢測(cè)區(qū)變成了磁場(chǎng)分離區(qū)，為收集分離出的離子，需在EF邊上放置收集板EP．收集板下端留有狹縫PF，離子只能通過(guò)狹縫進(jìn)入磁場(chǎng)進(jìn)行分離．假設(shè)在AB極上有兩種正離子，質(zhì)量分別為m₁、m₂，且m₁＞m₂，電荷量均為q，現(xiàn)要將兩種離子在收集板上的完全分離，同時(shí)為收集到更多離子，狹縫盡可能大，試討論狹縫PF寬度的最大值．（磁感應(yīng)強(qiáng)度大小可調(diào)，不考慮出Ⅲ區(qū)后再次返回的離子）

Answer 1

分析 （1）正離子在電極AB和CD間做加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)方向水平向右，所以AB電極帶正電，根據(jù)動(dòng)能定理求離子到達(dá)CD電極的速度
（2）由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分別求出離子在Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)、Ⅲ區(qū)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，求出總時(shí)間即可得到k與m的關(guān)系式
（3）兩種離子從狹縫進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)，分別做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求出半徑，畫(huà)出恰好分離時(shí)的軌跡圖即PF的最大值

解答 解：（1）正離子做加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)方向水平向，AB極電勢(shì)高
離子在AB和CD兩極間加速，由動(dòng)能定理：
$qU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
離子到達(dá)CD極時(shí)的速度：$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}=\sqrt{2kU}$
（2）正離子在Ⅰ區(qū)做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)所用時(shí)間為${t}_{1}^{\;}$，則
${t}_{1}^{\;}=\frac{L}{\frac{v}{2}}=\frac{2L}{v}$
得${t}_{1}^{\;}=\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}}{kU}}$
設(shè)離子在Ⅱ區(qū)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為所用時(shí)間${t}_{2}^{\;}$，則
${t}_{2}^{\;}=\frac{4L}{v}$
得${t}_{2}^{\;}=2\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}}{kU}}$
離子在Ⅲ區(qū)先勻減速，后反向勻加速．設(shè)加速度為a，所用時(shí)間為${t}_{3}^{\;}$，則
$a=\frac{qE}{m}=\frac{kU}{2L}$
${t}_{3}^{\;}=2\frac{v}{a}$
得${t}_{3}^{\;}=4\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}}{kU}}$
總時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}$
代入得$k=\frac{98{L}_{\;}^{2}}{U{t}_{\;}^{2}}$
（3）根據(jù)洛倫茲力提供向心力，有$Bqv=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
代入得：${R}_{1}^{\;}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2U{m}_{1}^{\;}}{q}}$
半徑關(guān)系：$\frac{{R}_{1}^{\;}}{{R}_{2}^{\;}}=\sqrt{\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{2}^{\;}}}$
分兩種情況討論：
①若${m}_{1}^{\;}≤4{m}_{2}^{\;}$，則${R}_{1}^{\;}≤2{R}_{2}^{\;}$，如圖1所示，此時(shí)狹縫最大值x同時(shí)滿足：$x=2{R}_{1}^{\;}-2{R}_{2}^{\;}$

$d=2{R}_{1}^{\;}+x$
解得：$x=\frac{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{2\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}d$
②若${m}_{1}^{\;}＞4{m}_{2}^{\;}$，則${R}_{1}^{\;}＞2{R}_{2}^{\;}$，如圖2所示，此時(shí)狹縫最大值x同時(shí)滿足：$x=2{R}_{2}^{\;}$，$2{R}_{1}^{\;}+x=d$
解得：$x=\frac{\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}+\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}d$

答：（l）AB極電勢(shì)高，若正離子比荷為k，求該離子到達(dá)CD極時(shí)的速度大小$\sqrt{2kU}$；
（2）該裝置可以測(cè)出離子從AB極出發(fā)，經(jīng)Ⅰ區(qū)、Ⅱ區(qū)和Ⅲ區(qū)，最后返回EF端的總時(shí)間t．由此可以確定離子的比荷k與t的函數(shù)關(guān)系式$k=\frac{98{L}_{\;}^{2}}{U{t}_{\;}^{2}}$．
（3）①${m}_{1}^{\;}≤4{m}_{2}^{\;}$ 狹縫PF寬度的最大值$x=\frac{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{2\sqrt{{m}_{1}^{\;}}-\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}d$
②${m}_{1}^{\;}＞4{m}_{2}^{\;}$狹縫PF寬度的最大值$x=\frac{\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}{\sqrt{{m}_{1}^{\;}}+\sqrt{{m}_{2}^{\;}}}d$

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，在電場(chǎng)中加速根據(jù)動(dòng)能定理求加速后的速度，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式，解題的關(guān)鍵是理清帶電粒子的運(yùn)動(dòng)情景，依據(jù)合適的規(guī)律求解．