Question

14．電磁彈是我國最新研究的重大科技項目，原理可用下述模型說明．如圖甲所示，虛線MN右側(cè)存在豎直向上的勻強磁場，邊長為L的正方形單匝金屬線框abcd放在光滑水平面上，電阻為R，質(zhì)量為m，ab邊在磁場外側(cè)緊靠MN虛線邊界．t=0時起磁感應(yīng)強度B隨時間t的變化規(guī)律是B=B₀+kt（k為大于零的常數(shù)）．空氣阻力忽略不計．
（1）求t=0時刻，線框中感應(yīng)電流的功率P；
（2）若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框，如圖乙所示，在線框上加一質(zhì)量為M的負(fù)載物，證明：載物線框匝數(shù)越多，t=0時線框加速度越大．

Answer 1

分析 （1）先計算出線框中感應(yīng)電動勢，再代入功率的公式計算出線框中感應(yīng)電流的功率P；
（2）先計算出n匝線框中感應(yīng)電動勢，從而計算出安培力的大小，再由牛頓第二定律算出加速度來證明：載物線框匝數(shù)越多，t=0時線框加速度越大．

解答 解：（1）t=0時刻線框中的感應(yīng)電動勢，由法拉第電磁感應(yīng)定律得
${E}_{0}=\frac{△B}{△t}{L}^{2}$
功率$P=\frac{{E}^{2}}{R}$=$\frac{{k}^{2}{L}^{4}}{R}$；
（2）n匝線框中時刻產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢
${E}_{0}=n\frac{△Φ}{△t}$
線框的總電阻R_總=nR
線框中的感應(yīng)電流$I=\frac{{E}_{0}}{{R}_{總}}$
t=0時刻線框受到的安培力F=nB₀IL
設(shè)線框的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律有
F=（nm+M）a
解得：$a=\frac{k{B}_{0}{L}^{3}}{（\frac{M}{n}+m）R}$
可知n越大，a越大
證得：若用相同的金屬線繞制相同大小的n匝線框，如圖乙所示，在線框上加一質(zhì)量為M的負(fù)載物，載物線框匝數(shù)越多，t=0時線框加速度越大．
答：（1）求t=0時刻，線框中感應(yīng)電流的功率P為$\frac{{k}^{2}{L}^{4}}{R}$；
（2）證明過程見解析．

點評 這是一道結(jié)合現(xiàn)代科技的電磁感應(yīng)的綜合應(yīng)用題，利用法拉第電磁感應(yīng)定律求解感應(yīng)電動勢的大小，再分析受力情況，結(jié)合牛頓第二定律，求解加速度，綜合性較強，難度較大．