Question

20．如圖所示，置于空氣中的等腰直角三棱鏡，橫截面中ABC的斜面BC長4l，BD段長l，棱鏡材料折射率為n．
（1）如圖中實線所示，從D點垂直入射到BC邊的細光束在直角面AB、AC外側(cè)均無透射光，試求n的取值范圍．
（2）若n=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$，略去入射光在鏡內(nèi)經(jīng)過三次或三次以上反射的光線，對于與BC邊垂直方向成30°入射到D點的細光束（如圖中虛線所示），試求細光束在AC邊反射時反射點到A點的距離和細光束從BC邊出射后的方向．（已知sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，計算結(jié)果可以用根號表示）

Answer 1

分析 （1）抓住光線在AB恰好發(fā)生全反射，結(jié)合折射定律求出折射率的大小，從而得出折射率滿足的條件；
（2）作出光路圖，根據(jù)折射定律，結(jié)合幾何關(guān)系求出細光束在AC邊反射時反射點到A點的距離以及從BC邊出射后的方向．

解答 解：（1）設(shè)光線入射到AB邊時恰好發(fā)生全反射，$\frac{sin45°}{sin90°}=\frac{1}{n}$
解得n=$\sqrt{2}$
因而要細光束在直角面AB、AC外側(cè)均無透射光，則n≥$\sqrt{2}$．
（2）設(shè)細光束入射到AB邊上的E點，入射到AC邊上的F點，設(shè)BE=a，AF=x
由折射定律可知$\frac{sin30°}{sinθ}$=n
可得θ=15°因而θ₁=30°
由正弦定理可知：$\frac{sin30°}{l}=\frac{sin105°}{a}$
可知：a=$\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{2}$l
由幾何關(guān)系可知：tan30°=$\frac{x}{{2\sqrt{2}l-a}}$
解得x=$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$l
由圖可知，細光束從BC邊出射后與入射方向平行，即與BC邊成60°．
答：（1）n的取值范圍為n≥$\sqrt{2}$．
（2）細光束在AC邊反射時反射點到A點的距離為$\frac{{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$l，細光束從BC邊出射后的方向與BC邊成60°．

點評 本題是幾何光學問題，關(guān)鍵要正確作出光路圖，結(jié)合折射定律和數(shù)學幾何關(guān)系綜合求解，難度中等．