Question

20．如圖所示，AB是傾角為θ=30°的粗糙直軌道，BCD是光滑的圓弧軌道，AB恰好在B點(diǎn)與圓弧相切，圓弧的半徑為R，一個(gè)質(zhì)量為m的物體（可以看做質(zhì)點(diǎn)）從直軌道上的P點(diǎn)由靜止釋放，結(jié)果它能在兩軌道間做往返運(yùn)動(dòng)．已知P點(diǎn)與圓弧的圓心O等高，物體做往返運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中在AB軌道上通過(guò)的路程為s．求：
（1）物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ；
（2）最終當(dāng)物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力；
（3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′至少多大．

Answer 1

分析 （1）滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)，對(duì)整個(gè)過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理，即可求出物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ；
（2）對(duì)B→E過(guò)程，由動(dòng)能定理求出物體通過(guò)E點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求物體對(duì)軌道的壓力；
（3）物體剛好到最高點(diǎn)D時(shí)，由重力充當(dāng)向心力，由牛頓第二定律求出D點(diǎn)的速度，再由動(dòng)能定理求解即可．

解答 解：（1）由題意可知，物體最終向右運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)即返回，對(duì)整個(gè)過(guò)程由動(dòng)能定理得：mgR•cosθ-μmgcosθ•s=0
解得：μ=$\frac{R}{S}$
（2）最終物體以B為最高點(diǎn)，在圓弧底部做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，對(duì)B→E過(guò)程，由動(dòng)能定理得：
mgR（1-cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_E²
在E點(diǎn)，由牛頓第二定律得：F_N-mg=m$\frac{{v}_{E}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F_N=（3-$\sqrt{3}$）mg
根據(jù)牛頓第三定律可得，小球?qū)�圓弧軌道的壓力：F_N′=F_N=（3-$\sqrt{3}$）mg，方向豎直向下
（3）物體剛好到D點(diǎn)，由牛頓第二定律有：mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
對(duì)全過(guò)程由動(dòng)能定理得：mgL′sinθ-μmgL′cosθ-mgR（1+cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
聯(lián)立解得：L′=$\frac{3+2cosθ}{2（sinθ-μcosθ）}•R$=$\frac{（3+\sqrt{3}）Rs}{s-\sqrt{3}R}$
答：（1）物體與軌道AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為$\frac{R}{S}$；
（2）最終當(dāng)物體通過(guò)圓弧軌道最低點(diǎn)E時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力（3-$\sqrt{3}$）mg，方向豎直向下；
（3）為使物體能順利到達(dá)圓弧軌道的最高點(diǎn)D，釋放點(diǎn)距B點(diǎn)的距離L′至少為$\frac{（3+\sqrt{3}）Rs}{s-\sqrt{3}R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查應(yīng)用動(dòng)能定理求摩擦力做的功、圓周運(yùn)動(dòng)及圓周運(yùn)動(dòng)中能過(guò)最高點(diǎn)的條件，要知道滑動(dòng)摩擦做功與總路程有關(guān)，小球剛到圓軌道最高點(diǎn)時(shí)重力提供向心力．