Question

10．如圖所示，將一質量為m的小環(huán)套在一半徑為R的“半圓形”金屬軌道上，并將軌道固定在豎直面內的A、B兩點，直徑AB與豎直半徑OD夾角為60°．現(xiàn)將兩根原長為R、勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{R}$的彈性輕繩一端固定在小環(huán)上，另一端分別固定在A、B兩點．已知彈性輕繩滿足胡克定律，不計一切摩擦，重力加速度為g．將小環(huán)由A點正下方的C點靜止釋放，當小環(huán)運動到金屬軌道的最低點D時，求：
（1）小環(huán)的速率v；
（2）金屬軌道對小環(huán)的作用力F的大�。�

Answer 1

分析 （1）對CD過程分析，根據(jù)機械能守恒定律可求得小環(huán)的速率v；
（2）由胡克定律求解AD段繩上的張力，再根據(jù)向心力公式進行分析即可明確小球受到的作用力大�。�

解答 解：（1）在CD兩點，彈性繩的彈性勢能相等，由機械能守恒定律可得：
mg$\frac{R}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²
得v=$\sqrt{gR}$；
（2）在D點，AD段彈性繩的伸長量x=（$\sqrt{3}$-1）R，BD段彈性繩彈力為0，
所以AD段彈性繩張力T=kx=$\frac{mg}{R}$（$\sqrt{3}$-1）R=（$\sqrt{3}$-1）mg
在D點時，設導軌對圓環(huán)的作用力F是向上的支持力
由向心力公式可知：
（$\sqrt{3}$-1）mgcos30°+F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$mg．
答：（1）小環(huán)的速率v為$\sqrt{gR}$；
（2）金屬軌道對小環(huán)的作用力F的大小為$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$mg．

點評 本題考查機械能守恒定律以及向心力公式的應用，要注意正確分析過程，并能正確進行受力分析，能正確利用向心力公式列式即可求解．