Question

6．今年5月13日，“好奇號”火星探測器迎來了他兩火星周年的紀(jì)念日，已知火星的半徑為R，“好奇號”登陸火星前在火星表面繞火星做勻速圓周運動的周期為T，將地球和火星的公轉(zhuǎn)均視為勻速圓周運動，火星到地球的最遠(yuǎn)距離約為最近距離的五倍，引力常量G，求：
（1）火星的質(zhì)量M即平均密度ρ；
（2）火星年約相當(dāng)于多少個地球年（可用根號表示）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于向心力求出火星的質(zhì)量，根據(jù)密度公式求出火星的密度
（2）求出幾何關(guān)系求出火星和

解答 解：（1）探測器在火星表面做勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力有
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$
得火星的質(zhì)量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
火星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）根據(jù)題意，火星到地球的最遠(yuǎn)距離約為最近距離的五倍，當(dāng)火星到地球距離最遠(yuǎn)時，火星和地球位于太陽的兩側(cè)且在同一直徑上；當(dāng)火星和地球位于太陽的同側(cè)且在同一半徑上時距離最近，
假設(shè)地球和火星的最短距離為R′，則最遠(yuǎn)距離是5R′，火星的軌道半徑3R′，地球的軌道半徑為2R′
根據(jù)開普勒第三定律，$\frac{（3R′）_{\;}^{3}}{{T}_{火}^{2}}=\frac{（2R′）_{\;}^{3}}{{T}_{地}^{2}}$
${T}_{火}^{\;}=\sqrt{\frac{27}{8}}{T}_{地}^{\;}=\frac{3}{4}\sqrt{6}年$
答：（1）火星的質(zhì)量M即平均密度ρ為$\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$；
（2）火星年約相當(dāng)于$\frac{3\sqrt{6}}{4}$個地球年

點評 本題關(guān)鍵是明確探測器的向心力來源，根據(jù)牛頓第二定律列式求解，同時要注意在火星表面，重力等于萬有引力．