Question

4．如圖所示，傾角為θ的光滑斜面MNPQ的長為L，C點為斜面底邊NP的中點，有一長為$\frac{L}{4}$的細線，細線的一端固定在O點，O點是斜面MNPQ的中心位置，另一端拴一質量為m的小球，使小球在斜面上做完整的圓周運動，不計空氣阻力，小球可看成質點．則下列說法正確的有（　�。�

• A． 若小球恰好做完整的圓周運動，通過最高點A時的速度為v_A=$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$
• B． 若小球恰好做完整的圓周運動通過A點時，細線因某種原因突然斷裂，為保證小球不從MN邊射出，則斜面底邊NP的寬度d應滿足d≥$\frac{\sqrt{6}}{4}$L
• C． 若小球轉到B點時細線突然斷裂，小球恰好從距離C點為b的E點射出，則細線斷裂的瞬間細線的拉力為mgsinθ（8b²+L²）
• D． 若小球恰好做完整的圓周運動，則通過最高點時對細線的拉力為mg

Answer 1

分析 小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，在A點時由重力的下滑分量恰好提供向心力，由牛頓第二定律求v_A．
在A點細線突然斷裂后，小球做類平拋運動，運用運動的分解法，由牛頓第二定律、運動學公式和臨界條件求解．
小球轉到B點時細線突然斷裂，之后小球做類平拋運動，由分位移公式求出小球通過B點的速度，再由牛頓第二定律求細線的拉力．

解答 解：A、D、小球恰好能在斜面上做完整的圓周運動，在A點時由重力的下滑分量恰好提供向心力，對細線的拉力為0，由牛頓第二定律有：
mgsinθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：v_A=$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$故A正確，D錯誤；
B、在A點細線斷裂后，小球做類平拋運動，則有：
$\frac{3}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
若不從MN邊射出，應有：v_At≤$\fracnfrrnb7{2}$
解得：d≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$L．故B錯誤；
C、若小球轉到B點時細線突然斷裂，之后小球類平拋到E點，則有：
$\frac{1}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
b=v_Bt
在B點，由牛頓第二定律得：T-mgsinθ=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：T=mgsinθ（1+$\frac{8^{2}}{{L}^{2}}$）故C錯誤．
故選：A

點評 本題關鍵是明確小球的運動規(guī)律，找到圓周運動時的向心力來源，對于類似平拋運動，根據(jù)分位移公式列式求解．要注意類平拋運動的加速度不是g，而是gsinθ．