Question

有兩艘潛艇一前一后，兩者相距L，且兩者始終保持相同的速度v同向前進．后艇的水下聲納系統(tǒng)發(fā)出聲音信號，到達前面的艇時立即被反射回來．已知聲音信號在水中傳播的速度為v_o．
（1）證明：后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時間為：t=

2voL

vo2-v2

（2）通過對t=

2voL

vo2-v2

這個數(shù)學式的討論，說明當兩艘艇處于何種狀態(tài)時，后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時間最短．
（3）如果從純數(shù)學的角度來說，當v=v_o時，t=

2voL

vo2-v2

的分母為零，是沒有意義的．但是，這是一個表達一定的物理意義的式子．那么，從物理的角度說，當v=v_o時，t=

2voL

vo2-v2

的分母為零意味著什么呢？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩者始終保持相同的速度υ同向前進，可得出信號向前面的艇傳播時相對速度，和信號返回時，相對后潛水艇的速度，再根據(jù)兩者相距L，利用速度公式變形可分別求出到達前面潛水艇的時間和到達后潛水艇的時間，二者相加即可．
（2）將t=

2v0L

v 2 0 -v2

化簡得t=

2L

v   0 - v2 v0

，然后根據(jù)v的取值討論，可得出兩潛水艇靜止時，后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時間最短．
（3）從物理的角度說，當υ=υ₀時，t=

2v0L

v 2 0 -v2

的分母為零意味信號不可能到達前面的潛水艇．

解答：解：（1）因L一定，兩艘潛艇保持相同的速度υ同向前進．信號向前面的艇傳播時，相對前面潛水艇的速度為：v₀-v，
到達前面潛水艇的時間為t₁=

L

v0-v

，信號返回時，相對后潛水艇的速度為：v₀+v，到達后潛水艇的時間為：t₂=

L

v0+v

．
則總時間為t=t₁+t₂，代入整理得t=

L

v0-v

+

L

v0+v

=

2v0L

v 2 0 -v2

；
（2）由t=

2v0L

v 2 0 -v2

=

2L

v   0 - v2 v0

得，當v=0時，v₀-

v2

v0

的值最大，則t最小，這說明當兩潛水艇靜止時，后潛水艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時間最短．
（3）從純數(shù)學的角度來說，當υ=υ₀時，t=

2v0L

v 2 0 -v2

的分母為零，是沒有意義的，但是，這是一個表達一定的物理意義的式子．那么，從物理的角度說，當υ=υ₀時，t=

2v0L

v 2 0 -v2

的分母為零時，就意味的從后潛水艇發(fā)出的信號不可能到達前面的潛水艇，說明此時聲納系統(tǒng)失�。�

答：（1）證明見上
（2）v=o，后艇從發(fā)出信號到接收到反射回來的信號的時間最短．
（3）無法進行信號傳遞．

點評：此題主要考查回聲測距離的應用，解答此題的關鍵是靈活掌握速度公式的變形，難點是由t=

2v0L

v 2 0 -v2

這個式子到

2L

v   0 - v2 v0

，對此要求數(shù)學基礎比較好，因此學生具備一定的學科綜合能力，此題屬于難題．