Question

12．如圖所示，離地面足夠高處有一豎直的空管，管長為L=24m，M、N為空管的上、下兩端，空管受到豎直向上的拉力作用，由靜止開始豎直向下做勻加速運動，加速度a=2m/s²，同時在M處一個大小不計的小球沿管的軸線以初速度v₀豎直上拋，不計一切阻力，取g=10m/s²．求：
（1）若小球上拋的初速度為v₀=10m/s，小球豎直上升的最大高度是多少
（2）在滿足（1）條件時，小球從拋出開始經(jīng)過多長時間從管的N端穿出
（3）若此空管的N端距離地H=64m高，欲使在空管到達地面時小球必須落到管內，在其他條件不變的前提下，求小球的初速度v₀大小的范圍．

Answer 1

分析 （1）由勻變速直線運動的速度位移公式可以求出位移；
（2）對于這類相對運動問題注意選擇參照系，以地面為參照系，二者均做勻變速直線運動，最后小球穿出時，二者位移差為管長L，據(jù)此列方程可正確求解．
（3）求出空管落地的時間，小球要落入空管內，小球在空管落地的時間內的位移必須滿足的條件為64m≤h≤88m，根據(jù)勻變速直線運動的位移時間公式求出小球的初速度范圍．

解答 解：（1）由速度與位移公式可知，$h=\frac{0-{v}_{0}^{2}}{-2g}$；
小球上升的最大高度：
h=$\frac{0-1{0}^{2}}{-2×10}$=5m，
（2）以向下方向為正方向．
對空管，a=2m/s²
設經(jīng)t時間，小球從N端穿出，小球下落的高度：
h₁=v₀t+$\frac{1}{2}$gt²
空管下落的高度：
h₂=$\frac{1}{2}$at²；
則，h₁-h₂=L
聯(lián)立得：
-v₀t+$\frac{1}{2}$gt²-$\frac{1}{2}$at²=L
代入數(shù)據(jù)解得：t=4s，t=-1.5s（舍）
故小球經(jīng)過4s時間從管內穿出；
（3）設空管經(jīng)時間t′到達地面，
由H=$\frac{1}{2}$at′²，可得：t′=$\sqrt{\frac{2H}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×64}{2}}$=8s，
小球下落高度：h=v₀t′-$\frac{1}{2}$a′t′²，
小球落入管內的條件是：64m≤h≤88m，
解得：29m/s≤v₀≤32m/s；
答：（1）若小球上拋的初速度為v₀=10m/s，小球豎直上升的最大高度是5m；
（2）在滿足（1）條件時，小球從拋出開始經(jīng)過4s時間從管的N端穿出；
（3）若此空管的N端距離地面高64m，欲使在空管到達地面時小球必須落在管內，在其他條件不變的前提下，小球初速度v₀的范圍是：29m/s≤v₀≤32m/s．

點評 本題考查了勻變速直線運動的規(guī)律，關鍵理清空管和小球的運動情況，抓住相等的量，運用運動學公式靈活求解．