Question

（2004?廣州二模）火星和地球繞太陽的運(yùn)動可以看作為同一平面內(nèi)同方向的勻速圓周運(yùn)動，已知火星的軌道半徑R=1.5×10¹¹m，地球的軌道半徑r=1.0×10¹¹m，從如圖所示的火星與地球相距最近的時刻開始計時，估算火星再次與地球相距最近需多少地球年？（保留兩位有效數(shù)字）

Answer 1

分析：根據(jù)萬有引力提供向心力G

mM

r2

=m

4π2

T2

r，可得T2=

4π2

GM

r3，對于和火星都有同樣的關(guān)系，所以(

T1

T2

)2=(

r1

r2

)3，這樣可以解出火星的周期．兩星轉(zhuǎn)過的角度之差△θ=(

2π

T1

-

2π

T2

)t=2 π，可以解得t，即為火星再次與地球相距最近需要的時間．

解答：解：設(shè)行星質(zhì)量為m，太陽質(zhì)量為M，行星與太陽的距離為r，地球的周期為T₁，火星的周期為T₂，地球的軌道半徑為r₁，火星的軌道半徑為r₂．
根據(jù)萬有引力定律，行星受太陽的萬有引力F=G

mM

r2

行星繞太陽做近似勻速圓周運(yùn)動，
根據(jù)牛頓第二定律有F=ma=mω²r
ω═

2π

T

以上式子聯(lián)立G

mM

r2

=m

4π2

T2

r
故T2=

4π2

GM

r3
地球的周期為1年，
(

T1

T2

)2=(

r1

r2

)3
火星的周期為T₂=1.8年
設(shè)經(jīng)時間t兩星又一次距離最近，
根據(jù)θ=ωt
則兩星轉(zhuǎn)過的角度之差
△θ=(

2π

T1

-

2π

T2

)t=2 π
得t=2.3年．
答：火星再次與地球相距最近需2.3地球年．

點評：本題也可運(yùn)用開普勒周期定律

a3

T2

=k求解火星的周期，這種方法更簡潔．此題難度不大，屬于中檔題．