Question

5．質(zhì)量M=1000kg的汽車通過圓形拱形橋時的速率恒定，拱形橋的半徑R=10m．重力加速度g=10m/s²，試求：
（1）若汽車在最高點對拱形橋的壓力為車重的一半時，汽車的速率v₁；
（2）若汽車以v₂=5m/s的速率過橋，在最高點時對橋面的壓力多大？
（3）要使汽車始終不脫離橋面，則汽車在拱形橋的最高點的速度v₃不能超過多大？

Answer 1

分析 （1）在拱形橋的最高點，汽車靠重力和支持力的合力提供向心力，結合牛頓第二定律求出最高點汽車的速率．
（2）根據(jù)牛頓第二定律求出橋面對汽車的支持力，再根據(jù)牛頓第三定律求汽車對橋面的壓力．
（3）要使汽車始終不脫離橋面，汽車對橋頂?shù)膲毫Σ荒芰�，至少靠重力提供向心力，根�?jù)牛頓第二定律求出v₃．

解答 解：（1）根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-N₁=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
又N₁=$\frac{1}{2}$mg
解得：v₁=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$=$\sqrt{\frac{1}{2}×10×10}$=5$\sqrt{2}$m/s
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-N₂=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
得：N₂=m（g-$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$）=7500N
根據(jù)牛頓第三定律得汽車對橋面的壓力大小為7500N．
（3）汽車剛要脫離橋面時，有：mg=m$\frac{{v}_{3}^{2}}{R}$
可得：v₃=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×10}$=10m/s
答：（1）若汽車在最高點對拱形橋的壓力為車重的一半時，汽車的速率v₁是5$\sqrt{2}$m/s．
（2）若汽車以v₂=5m/s的速率過橋，在最高點時對橋面的壓力是7500N．
（3）要使汽車始終不脫離橋面，則汽車在拱形橋的最高點的速度v₃不能超過10m/s．

點評 解決本題的關鍵知道汽車在拱橋頂做圓周運動向心力的來源，結合牛頓第二定律進行求解，列表達式時，注意合力指向圓心．