Question

3．宇航員乘坐航天飛行器到達(dá)某未知星球表面進(jìn)行科學(xué)考察，他將“該星球的自轉(zhuǎn)周期18個(gè)小時(shí)、同一物體在該星球兩極處的重力為在赤道處重力的$\frac{27}{26}$倍”的數(shù)據(jù)輸入飛行器的航程自動(dòng)儀中，飛行器自動(dòng)生成運(yùn)行軌道，并按此軌道由星球表面的Q點(diǎn)返回到同步圓軌道上，如圖所示，其中P點(diǎn)和Q點(diǎn)為切點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（　　）

• A． 可以求出未知星球的質(zhì)量
• B． 從橢圓軌道返回同步軌道，飛行器要增大速度
• C． 可以求出同步軌道半徑和星球半徑的比值
• D． 飛行器從Q點(diǎn)到P點(diǎn)需要的時(shí)間為26小時(shí)

Answer 1

分析 在星球的兩極時(shí)重力等于萬(wàn)有引力．在星球的赤道，物體的重力等于萬(wàn)有引力與向心力之差．同步衛(wèi)星的向心力由萬(wàn)有引力提供，由這三個(gè)關(guān)系分別列式，求同步衛(wèi)星的軌道半徑與星球半徑的關(guān)系，再由開(kāi)普勒第三定律求出飛行器運(yùn)動(dòng)的周期，即可得到所求時(shí)間

解答 解：A、因不知星球的半徑，則不能確定其質(zhì)量．
B、從橢圓軌道返回同步軌道，飛行器在P點(diǎn)由向心運(yùn)動(dòng)變?yōu)閳A周運(yùn)動(dòng)要增加速度，則B正確
C、D、設(shè)該星球的半徑為R，質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的周期為T(mén)，軌道半徑為r，飛行器的周期為T(mén)′．
在星球的兩極有 G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg
在星球的赤道有 G$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg′+m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
據(jù)題有 mg′=$\frac{26}{27}$mg
聯(lián)立以上三式得：$\frac{1}{27}$•G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
對(duì)于同步衛(wèi)星有：G$\frac{Mm′}{{r}^{2}}$=m′$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r
聯(lián)立以上二式解得 r=3R 則C正確
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得 $（\frac{R+r}{2}）^{3}：{r}^{3}=T{′}^{2}：{T}^{2}$
得 T′=4$\sqrt{6}$h，則從Q點(diǎn)到P點(diǎn)需要的時(shí)間為2$\sqrt{6}$小時(shí)，則D錯(cuò)誤
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵要之處是根據(jù)重力與萬(wàn)有引力的關(guān)系、萬(wàn)有引力與向心力的關(guān)系求同步衛(wèi)星的軌道半徑，明確飛行器由P點(diǎn)到Q點(diǎn)所需的時(shí)間應(yīng)是橢圓運(yùn)動(dòng)的半個(gè)周期