Question

【題目】如圖所示，質量為M=40kg、傾角為α=37°的斜面體（斜面光滑且足夠長）放在粗糙的水平地面上，底部與地面的動摩擦因數(shù)為μ，斜面頂端與勁度系數(shù)為k=2000N/m、自然長度為L=0.4m的輕質彈簧相連，彈簧的另一端連接著質量為m=10kg的物塊。壓縮彈簧使其長度為0.3m時將物塊由靜止開始釋放，且物塊在以后的運動中，斜面體始終處于靜止狀態(tài)。重力加速度為g=10m/s2。

（1）選物塊的平衡位置為坐標原點，沿斜面向下為正方向建立坐標軸，用x表示物塊相對于平衡位置的位移，證明物塊做簡諧運動；

（2）求彈簧的最大伸長量；

（3）為使斜面始終處于靜止狀態(tài)，動摩擦因數(shù)μ應滿足什么條件（假設滑動摩擦力等于最大靜摩擦力）？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）0.16m；（3）

【解析】

（1）設物塊在斜面上平衡時，彈簧伸長量為，則有

解得

當物塊位移為x時，彈簧伸長量為，物塊所受合力為

聯(lián)立以上各式解得

可知物塊做簡諧運動。

（2）物塊做簡諧振動的振幅為

由對稱性可知，最大伸長量為

（3）設物塊位移x為正，則斜面體受力情況如圖所示

由于斜面體平衡，所以水平方向有

豎直方向有

又，

聯(lián)立解得

，

為使斜面體保持靜止，則有

解得

當x=-A時，上式右端達到最大值，代入數(shù)據(jù)解得